Triết học của toán ứng dụng - Kỳ 2

 Dịch bởi Võ Đức Huy

Tính ứng dụng cho thấy gì về nền tảng của toán?

Bước hợp lý tiếp theo cho nhà siêu hình toán nào muốn nghĩa về khả năng ứng dụng của toán là hỏi xem mỗi cái trong bốn cách nhìn về nền tảng cho thấy gì về câu hỏi lớn của chúng ta. Những thảo luận theo hướng này đã được viết bởi nhiều nhà toán học và khoa học, như Roger Penrose trong quyển “Đường đến thực tại” (The road to reality), hay Paul Davies trong “Ý Chúa” (The mind of god).

Tôi muốn đi hướng khác bằng cách lật ngược lại bước trên: Tôi muốn hỏi “tính khả dụng của toán cho thấy gì về nền tảng của toán học?” Bằng cách hỏi câu hỏi này tôi có lợi là không có bất đồng nghiêm trọng nào về việc toán học có dùng được không: công trình đồ sộ của khoa học và công nghệ hiện đại, phụ thuộc lớn vào tính toán học của tự nhiên, là bằng chứng.

Vậy một nhà hình thức nói gì về tính khả dụng của toán học? Nếu toán học thật sự chẳng là gì ngoài trò chơi với các ký hiệu toán, thì làm sao nó mô tả thế giới? Trò chơi toán thì có ý nghĩa gì hơn những trò chơi khác? Nhớ rằng, nhà hình thức phải trả lời từ quan điểm hình thức, nên không thể cầu cứu tới những ý tưởng Platonic về ý nghĩa sâu xa của toán hay mối liên kết ngầm với thế giới vật lý. Với những lí do tương tự, các nhà logic cũng bị loại, vì nếu họ nói “có lẽ vũ trụ là một biểu hiện của logic”, thì họ đã ngầm giả thiết có một thực tại Platon cho logic để biểu hiện ra. Điều này biến chủ nghĩa logic thành một nhánh của chủ nghĩa Plato, cái mà ta sẽ thấy dẫn đến vấn đề nghiêm trọng của chính nó. Vậy với các nhà hình thức và các nhà logic phi-Plato, sự tồn tại của các ứng dụng toán học dẫn đến một vấn đề nghiêm trọng cho quan niệm của họ.

Nếu toán học thật sự chẳng là gì ngoài trò chơi với các ký hiệu toán, thì làm sao nó mô tả thế giới?

(Nguồn: internet)

Chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa logic đều không được tin tưởng rộng rãi nữa, mặc cho định kiến là các nhà toán học là các nhà platon trong tuần và hình thức trong ngày cuối tuần. Ngoài khả năng sai do ứng dụng toán học, cả hai cách nhìn đều dẫn đến sai lầm về lý luận do những công trình của Godel, Thoralf Skolem và những người khác.

Nền tảng thứ ba được đề xuất, chủ nghĩa Trực giác, chưa bao giờ được ủng hộ. Cho đến nay, nếu có được xét đến thì nó thường được bàn với giọng càu nhàu của các nhà toán học. Việc giới hạn các công cụ chứng minh và ý tưởng quái dị về sự mù mờ, khi một mệnh đề không thể đúng hay sai cho đến khi nó được chứng minh hoàn toàn, làm cho cách nhìn này ít hấp dẫn với nhiều nhà toán học.

Dù vậy, ý tưởng cốt lõi về tính đánh số được trong những quá trình có vẻ được suy ra từ thực tế. Trong thế giới vật chất, ít ra là như loài người thấy, có vẻ chỉ chứa những thứ đếm được và cái vô hạn như ta có thể gặp là sự suy rộng của việc đếm. Bằng cách này, có lẽ chủ nghĩa trực giác được suy ra từ thực tế, từ thế giới vật chất rõ ràng vô hạn quá lắm đếm được. Có vẻ là chủ nghĩa trực giác cho một câu trả lời gọn gàng về câu hỏi của tính khả dụng của toán học: nó dùng được vì nó được suy ra từ thực tế.

Thế nhưng câu trả lời này có thể gặp rắc rối khi kiểm tra kĩ hơn. Ví dụ, vật lý toán hiện đại, gồm lý thuyết lượng tử, cần ý tưởng về vô hạn vượt cả tính đếm được. Những mặt này do đó nằm ngoài khả năng giải thích của toán học theo chủ nghĩa Trực giác.

Có một ý tưởng hiện đại có thể có lợi từ lý luận của các nhà Trực giác: cái gọi là vật lý kỹ thuật số (digital physics). Nó cho rằng vũ trụ giống như một máy tính khổng lồ. Các hạt cơ bản được mô tả bởi trạng thái lượng tử chúng nhận được ở một thời điểm cho trước, giống như một bit trong máy tính được định bởi giá trị 0 hay 1. Giống như máy tính, vũ trụ được dựng trên thông tin về các trạng thái và hoạt động của nó có thể trên lý thuyết được mô phỏng bởi một máy tính khổng lồ. Do đó có khẩu hiệu của vật lý kỹ thuật số, “It from bit”.

Vũ trụ giống như một máy tính khổng lồ.

(Nguồn: internet)

Nhưng cách nhìn này cũng không phải thuần Trực giác và có vẻ dùng một vài ý tưởng platon. Bit của lý thuyết thông tin có vẻ dẫn đến một sự tồn tại có tính platon của thông tin mà từ đó thế giới vật lý được tạo ra.

Nhưng cơ bản hơn, chủ nghĩa Trực giác không trả lời được tại sao toán học phi-Trực giác lại dùng được. Có thể một định lý toán phi Trực giác được áp dụng vào thế giới khi nào nó có một chứng minh Trực giác, nhưng chứng minh đó chưa được nghĩ ra. Hơn nữa, mặt dù toán học Trực giác có vẻ như được suy ra từ thế giới thực, không rõ là những vật thể của trí óc con người có diễn tả trung thực thế giới vật chất không. Những biểu diễn của trí óc đã được chọn lọc qua thời gian tiến hóa, không phải do tính trung thực, mà bởi lợi thế nó tạo ra cho cá thể trong cuộc đấu tranh sinh tồn và truyền giống.

(...còn tiếp)