Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp- Kỳ 3

Dịch bởi Võ Đức Huy

CAT và phép biến đổi Radon (tiếp theo)

Dù vậy, bí quyết của CAT là tìm hiểu nhiều hơn nữa về bản chất vật thể hơn là kích thước của nó, bằng cách xem xét sự hấp thụ của càng nhiều tia X càng tốt. Để làm điều đó, ta cần nghĩ tới một só tia X với góc  và khoảng cách  khác nhau từ tâm của vật. Một tia X như vậy được minh họa bên dưới.

Tia X này đi qua một loạt các điểm $\left ( x,y \right )$  với mật độ quang học $u\left ( x,y \right )$ . Phương trình đường thẳng cho

$\left ( x,y \right )= \left ( \rho \cos\left ( \Theta  \right ) -s\sin \left ( \Theta  \right ),\rho\sin \left ( \Theta  \right )+s\cos \left ( \Theta  \right )  \right )$

trong đó $s$ là khoảng cách dọc theo tia X. Khi đó ta có

$l_{1}=l_{0}e^{-R\left ( \rho ,\Theta  \right )}$

 với 

$R\left ( \rho ,\Theta  \right )=\int u\left ( \rho \cos\left ( \Theta  \right ) -s\sin \left ( \Theta  \right ),\rho\sin \left ( \Theta  \right )+s\cos \left ( \Theta  \right )  \right )ds$

Hàm $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ được gọi là biến đổi Radon của hàm $u\left ( x,y \right )$. Khi  càng lớn, tia X chiếu theo góc tương ứng càng bị hấp thu nhiều. Phép biến đổi này nằm trong cốt lõi của các máy quét CAT và các vấn đề trong ngành chụp ảnh cắt lớp. Nó được nghiên cứu trước tiên bởi Johann Radon năm 1917. (Radon cũng nổi tiếng với những khám phá quan trọng liên quan đến một nhánh của toán học gọi là lý thuyết độ đo, nền tảng của phép tính tích phân). Bằng cách đo sự hấp thụ tia X tại càng nhiều góc càng tốt, ta có thể ước lượng hàm số này với độ chính xác cao. Câu hỏi lớn của toán chụp cắt lớp là làm sao quay ngược phép biến đổi Radon, nói cách khác:
Chúng ta có thể tìm  $u\left ( x,y \right )$ từ $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ ?
Thật tình cờ, đây cũng chính là bài toán của người phát sữa trong phần trước. Câu trả lời ngắn gọn là CÓ, với điều kiện là ta làm đủ các phép đo chính xác. Một giải thích chi tiết hơn có thể tìm thấy ở http://plus.maths.org/content/os/issue47/features/budd/maths (dành cho những người dũng cảm). Tuy nhiên, để tạo động lực, một ví dụ đơn giản sẽ được đưa ra đây. Trong hai hình sau chúng ta thấy một hình vuông ở bên trái và phép biến đổi Radon của nó với các giá trị lớn của $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ tại các điểm tối màu ở bên phải.

Điểm cần để ý trong hai hình này là bốn cạnh của hình vuông cho những điểm với cường độ cao (đánh dấu mũi tên) trong biến đổi Radon. Những điểm được đánh dấu cho hướng của đường thẳng và khoảng cách của chúng tới tâm của hình vuông. Những cạnh này cho giá trị lớn của  tại những điểm nhất định là do những tia X đi qua các đường này được hấp thụ rất mạnh, trong khi những tia đi chệch một chút lại khó bị hấp thụ.

Cơ bản biến đổi Radon rất hữu ích trong việc tìm những đường thẳng trong một hình. Một phương pháp tìm $u\left ( x,y \right )$ , gọi là filtered back projection algorithm, được thực hiện (thô) bằng cách giả định hình ảnh ban đầu được tạo bởi các đường thẳng và vẽ chúng ứng với các giá trị cao của . Phương pháp này nhanh nhưng có thể không chính xác. Dù vậy, có thể tìm $u\left ( x,y \right )$  nhanh và chính xác, và những thuật toán để làm điều đó được cài đặt vào các máy quét. Phát triển ban đầu của những máy này dùng một công cụ toán gọi là biến đổi Fourier để đi ngược phép biến đổi Radon. Nếu bạn cần một vài giải thích chặt chẽ, hãy đọc bài viết được nói ở trên. Đa số toán được dùng đến là ở trình độ đại học, nhưng bài viết có nhiều ý tưởng toán đáng yêu.

Chụp cắt lớp có những ứng dụng khác ngoài y học. Một ví dụ thú vị đến từ khảo cổ học, với việc dùng chụp cắt lớp để tìm hiểu cái chết của vua Tutankhamen. Một phép quét CAT cho xác ướp cho thấy một vết sưng ở đầu gối, cho thấy cái chết là hậu quả của nhiễm trùng nặng. Nguyên nhân của việc này có thể là vết thương từ một cú ngã. Tuy vậy, máy CAT không thể cho biết Tutankhamen bị ngã do tai nạn hay do một âm mưu nào đó.

Tổng quát hơn, ta có thể dùng chụp cắt lớp trong bất kỳ vấn đề nào mà thông tin cho bởi trung bình của một hàm số dọc một đường thẳng. Phép chụp này cũng hữu ích trong việc tìm bằng chứng cho những đường thẳng trong một hình ảnh (như cạnh của một vật). Chúng ta sẽ tìm hiểu hai ví dụ về cách dùng phép chụp cắt lớp.
(còn tiếp).....