Dịch bởi Võ
Đức Huy
Nhập cuộc bay
Hãy tưởng tượng chúng ta thuyết phục
được một con ruồi đi vòng quanh các đường may trên một quả bóng 32, ghi lại độ
dài nó đã di chuyển. Chúng ta cho chú ruồi một chỉ dẫn cẩn thận: chỉ đi mỗi đoạn
một lần. Nó bắt đầu đi khá tốt. Nhưng khi gặp ngã rẽ, một ý nghĩ kinh dị xuất
hiện: giả sử chỉ dẫn của chúng ta được theo quá chặt chẽ và con ruồi bắt đầu
nghĩ về bài toán Bảy cây cầu Konigsberg. Chúng ta có thể mất hàng năm! Nhưng
con ruồi bắt đầu lại, và ta thấy nó đi một vòng quanh một hình lục giác rồi lại
một vòng quanh một hình ngũ giác. Và sau đó thay vì nói cho chúng ta kết quả nó
bay vòng vòng và kêu vo vo theo cách khó chịu và rất “ruồi”.
Hiển nhiên là ta có một lời giải gọn
gàng cho vấn đề này và một ý tưởng nhỏ cho thấy suy luận của chú ruồi. Hai hình
liền kề nhau có đúng 1 cạnh chung. Như vậy, nếu ta tính toán số cạnh của tất cả
hình lục giác và ngũ giác rồi chia 2 ta sẽ có câu trả lời. Có 20 lục giác và 12
ngũ giác với tổng số cạnh
, chia 2 ta được 90 đường may. Tổng độ dài các đường
may trên quả bóng sẽ là
Với s là độ dài một cạnh của lục giác
hay ngũ giác. Ta có thể đo s bằng cách ép phẳng một quả bóng 32 truyền thống.
Nhưng ta có thể sử dụng tính toán thêm một chút. Diện tích của một ngũ giác đều
và một lục giác đều lần lượt cho bởi
Và
Cho bán kính quả bóng là R
Từ đó ta có một phương trình ẩn s và
khi giải ra ta được s=4,58
. Ta có thể kiểm chứng bằng một quả bóng thật. Đo cẩn
thận 10 đường may và tính trung bình, chúng tôi được 4,57 cm – rất đáng hài
lòng. Cuối cùng, ta có tổng chiều dài đường may là L=90s=4,12cm.
Thật ra, kết quả trên có thể được thực
hiện mà không cần con ruồi, bằng cách sử dụng công thức nổi tiếng của nhà toán
học Thụy Sĩ Leonhard Euler. Bỏ qua độ cong bề mặt, quả bóng 32 tương đương với
một khối 20 mặt đều, một trong 13 hình đa diện được gọi là các khối rắn Archimedes.
Các khối này có các mảnh (hay mặt theo cách nói truyền thống) có hình đa giác
chính quy như tam giác, hình vuông, ngũ giác, v.v… Tập hợp đầy đủ có thể xem
trên Wikipedia và một vài khối có thể xem trong hình dưới đây.
Với các vật thể này, công thức Euler
khẳng định V+E-F=2, với E và F là số các cạnh và mặt (đường may và mảnh)
và V là số đỉnh của hình khối.
Như vậy nếu ta yêu cầu một quả bóng với
đường may dài hơn, con quái vật có tên là Cửu-Thập-Nhị-Diện (Snub Dodecahedron,
hay Khối Chín Mươi Hai Mặt theo tiếng Việt thứ thiệt) có thể được dùng. Từ công
thức Euler ta có thể thấy số cạnh là 150. Bằng cách tính toán tương tự như
trên, ta có quả bóng Cửu-Thập-Nhị-Diện có đường may dài 9.5 mét. Tất nhiên
không nhà sản xuất nào làm một quả bóng như vậy: may 92 mảnh khít khao quá vất
vả trong khi một quả bóng 32 là đủ tốt rồi. Nhưng nếu ta đi theo hướng ngược lại,
giảm số mảnh và theo đó giảm chiều dài đường may, điều gì xảy ra?
Càng ít mảnh ghép bóng càng trơn
Ta có thể tìm hiểu mối liên hệ giữa
các mảnh ghép và đường may bằng cách xem lại các khối Archimedes. Như ta đã thấy,
công thức Euler giúp liên hệ dễ dàng các biến số trên. Nhìn lướt qua các khối Archimedes
ở trên, ta có thể thấy các khối có ít hơn 32 mặt không khối nào trông giống một
quả bóng đá. Sẽ rất dễ dàng để làm một quả bóng dựa trên khối 8 mặt với diện
tích bề mặt giống như quả bóng truyền thống, nhưng sẽ không có mấy thú vị khi
đá một quả bóng như vậy trong sân. Hình sau cho thấy một vài trường hợp khác.
(...còn tiếp)