Triết học của toán ứng dụng - Kỳ 1

Dịch bởi Võ Đức Huy

Tôi nói với một vị khách trong một bữa tiệc gần đây là tôi dùng toán học để tìm hiểu bệnh đau đầu Migraine. Cô ta nghĩ rằng tôi yêu cầu những người bị đau đầu làm vài bài tính toán để giảm đau. Tất nhiên, điều tôi thực sự làm là dùng toán học để tìm hiểu những nguyên nhân sinh học của căn bệnh đó.

Công việc của tôi khả thi vì một sự thật bất ngờ mà chúng ta hay bỏ qua: có thể hiểu thế giới bằng toán học. Hiểu lầm của vị khách nhắc chúng ta rằng sự thật này không phải dễ thấy. Trong bài báo này tôi muốn thảo luận một câu hỏi lớn: “tại sao toán học có thể được dùng để mô tả thế giới?”, suy rộng ra, “tại sao toán ứng dụng là khả thi?” Để làm điều đó, chúng ta cần nhìn lại lịch sử lâu dài của triết học về toán - cái tôi tạm gọi là Siêu Hình Toán (metamaths).

Toán ứng dụng là gì?

Trước khi đi vào chi tiết, ta cần định rõ thế nào là toán ứng dụng. Tôi sẽ mượn một định nghĩa của một nhà toán học ứng dụng lớn của thế kỉ 20 và 21, Tim Pedley, GI Taylor Professor về Cơ học chất lưu tại Đại học Cambridge. Trong phát biểu của ông cho Viện Toán và Ứng dụng năm 2004, ông nói “Ứng dụng toán là dùng những kỹ thuật toán để tìm câu trả lời cho những câu hỏi bên ngoài ngành toán”. Định nghĩa này khá rộng - gồm mọi việc từ đổi tiền đến biến đổi khí hậu - và tính khả thi của một định nghĩa rộng như vậy là một phần của điều bí ẩn mà chúng ta đang thảo luận.

Câu hỏi tại sao toán học lại ứng dụng được có lẽ quan trọng hơn bất kỳ câu hỏi nào bạn có thể hỏi về bản chất của Toán học. Trước hết, vì toán ứng dụng là toán, nó đưa đến tất cả những vấn đề y như truyền thống của Siêu Hình Toán. Thêm nữa, khi được sử dụng, nó dẫn đến những câu hỏi về triết học của khoa học. Tôi cho rằng vấn đề của chúng ta là câu hỏi lớn cho triết học của khoa học và toán học. Dù sao đi nữa, chúng ta hãy xem qua lịch sử của Siêu Hình Toán: những quan niệm nào đã được đưa ra về toán học, bản chất và công dụng của nó?

Siêu hình toán học

Lịch sử lâu dài của toán học nói chung không phân biệt rạch ròi toán ứng dụng và toán thuần túy. Mặc dù trong thời kỳ của toán học hiện đại, tức hai thế kỷ gần đây, có một sự tập trung gần như toàn bộ cho triết học về toán thuần túy. Nói riêng, mối quan tâm đã được đặt ra cho cái gọi là cơ sở của toán học- điều gì làm cho một mệnh đề toán học là đúng? Các nhà toán học quan tâm đến các cơ sở nói chung chia thành bốn nhóm.

Các nhà hình thức (formalist), như David Hillbert, coi toán học như được dựng trên tổng hợp của lý thuyết tập hợp và logic, và trong chừng mực nào đó coi việc làm toán hầu như biến đổi các ký hiệu toán dựa trên những luật cho trước.

Các nhà logic (logicist) coi toán học như một sự mở rộng của logic. Các nhà logic bậc thầy Bertrand Russell và Alfred North Whitehead từng dùng hàng trăm trang giấy để chứng minh logic rằng một cộng một bằng hai.

Các nhà trực giác được đại diện bởi LEJ Brouwer, một người được tả là “ông sẽ không bao giờ tin trời có mưa hay không cho đến khi ông nhìn ra ngoài cửa sổ” (theo Donald Knuth). Câu nói này đặc trưng cho một trong những ý tưởng cốt lõi của các nhà trực giác, sự khước từ luật triệt tam. Luật này nói rằng một mệnh đề (như “trời đang mưa”) là hoặc đúng hoặc sai, dù cho ta không biết chính xác. Ngược lại, các nhà trực giác tin rằng trừ khi bạn đã chứng minh xong mệnh đề hay đã đưa ra phản ví dụ, mệnh đề đó không có giá trị chân lý (không đúng cũng không sai).

Hơn thế nữa, các nhà trực giác đặt ra một giới hạn gắt gao cho những ý tưởng mà họ chấp nhận về cái vô hạn. Họ tin rằng toán học hoàn toàn là sản phẩm của trí óc con người, cái họ cho là chỉ có thể hiểu cái vô hạn trong một sự suy rộng của quá trình đếm số một-hai-ba-vân vân. Kết quả là, họ chỉ cho phép những phép toán đánh số được xuất hiện trong chứng minh, tức là những phép toán có thể được định bằng các số tự nhiên.

Cuối cùng, các nhà Platon học (Platonist), những người xưa nhất trong bốn nhóm, tin rằng có một thực tại dành cho sự tồn tại của các con số và đối tượng toán học. Với một nhà platon như Kurt Godel, toán học tồn tại không cần trí óc con người, có thể là không cần cả vũ trụ vật chất, nhưng có một kết nối bí ẩn giữa thế giới tinh thần của con người và thực tại của toán học.

Có một sự tranh cãi về việc cái nào trong bốn ý trên - nếu có một - là nền tảng cho toán học. Có vẻ như những đàm luận cao siêu đó không có liên quan gì đến tính ứng dụng, nhưng có ý cho rằng tính bất định về nền tảng gây ảnh hưởng đến việc thực hành toán ứng dụng. Trong “Sự biến mất của tính chắc chắn” (The loss of certainty), Morris Kline viết vào năm 1980 rằng “Những rối ren và tranh cãi về nền tảng của toán học cũng làm nản lòng những ai ứng dụng các phương pháp toán vào nhiều lĩnh vực trong nền văn hóa của chúng ta như triết học, khoa học chính trị, đạo đức và mỹ học […] Thời đại của lý lẽ đã qua rồi.” May thay, toán học đang bắt đầu được ứng dụng cho những lĩnh vực trên, nhưng chúng ta học được một bài học lịch sử quan trọng: việc lựa chọn những ứng dụng của toán học có mối liên hệ  có tính xã hội học với các vấn đề Siêu Hình Toán.


(...còn tiếp)