Dịch bởi Võ Đức Huy
Chụp cắt lớp, GPS
và việc hạ cánh máy bay an toàn
Quay quanh trái đất
là rất nhiều vệ tinh GPS đang truyền tín hiệu radio xuống mặt đất. Nếu bạn có
thể phát hiện những tín hiệu và tìm độ lệch pha giữa tín hiệu từ những vệ tinh
khác nhau, bạn có thể xác định vị trí của mình với độ chính xác cao. Các phương
pháp định vị GPS được sử dụng rộng rãi bởi các hệ thống định hướng máy bay, các
thiết bị SATNAV và những người leo núi. Dù vậy, một trong những vấn đề của hệ
thống này là những dao động từ tầng ion (tầng trên của khí quyển Trái đất) có
thể ảnh hưởng đến tín hiệu radio và làm chúng bị lệch một ít. Sự lệch pha này sẽ
dẫn đến sai sót trong vị trí cho bởi hệ thống GPS. Những sai sót này không lớn
và chấp nhận được cho việc định hướng. Thế nhưng, với việc hạ cánh máy bay thì
điều quan trọng là biết chính xác độ cao mà một sai lệch nhỏ cũng dẫn đến hậu
quả lớn. Ở đây một hiểu biết chính xác về tầng ion là điều cốt yếu.
Có những lí do
khác cho việc tìm hiểu tầng ion. Lí do dẫn đầu là tầng ion có ảnh hưởng rất
đáng kể tới đường truyền của sóng radio và truyền thông nói chung. Nói đơn sơ,
tầng ion có thể phản xạ sóng radio, làm tăng đáng kể phạm vi truyền tín hiệu.
Đáng chú ý là có
thể dùng chụp cắt lớp để thăm dò trạng thái của tầng ion. Trong vấn đề vẽ hình ảnh
bệnh nhân, chúng ta chiếu tia X qua cơ thể họ. Để vẽ hình ảnh của tầng ion,
chúng ta dùng tín hiệu từ các vệ tinh GPS. Chúng tạo nên những “đường thẳng” đi
xuyên qua tầng ion. Đường đi của chúng được minh họa trong hình dưới đây.
Pha của các sóng
radio bị ảnh hưởng bởi các electron của khí quyển, do đó tổng thay đổi trong
pha tỉ lệ với tích phân mật độ electron dọc đường truyền. Nếu ta có thể đo những
thay đổi trong pha, ta có thể ước lượng mật độ electron và tìm ra biến đổi
Radon của mật độ electron. Chúng ta gần như ở cùng một hoàn cảnh với bài toán
chụp ảnh y khoa và có vẻ như có thể tìm mật độ electron tại bất kỳ điểm nào
trong khí quyển.
Không hẳn là vậy.
Có hai khác biệt lớn giữa vấn đề này và bài toán CAT. Trước hết, các vệ tinh phải
di chuyển thường xuyên theo Trái đất. Thứ hai, có những vùng lớn trên Trái đất
mà tại đó ta không thể đo được. Những vùng đó gồm các đại dương, nơi không có
thiết bị thu sóng vệ tinh, và hai cực, nơi không có vệ tinh ở trên chúng. Do đó
chúng ta có ít thông tin hơn nhiều so với trường hợp của bài toán quét CAT. Điều
đó nghĩa là chúng ta thường ở trong tình huống của người đưa sữa không phân biệt
được hai cách sắp xếp chai sữa khác nhau, vì cả hai cách đều dẫn đến cùng một kết
quả đo như nhau.
Để vượt qua vấn đề
này, ta cần một thông tin tiên khởi (a priori information) về trạng thái của tầng
ion, nói cách khác là một phỏng đoán có lý về về lời giải. Điều này giúp chúng
ta loại bỏ những lời giải không hợp với phỏng đoán và chọn lời giải càng giống
phỏng đoán càng tốt. May mắn thay, ta có đủ hiểu biết về tính chất vật lý của tầng
ion để làm cho phỏng đoán của ta đủ gần với sự thật. Bằng cách đó (cùng vài cải
tiến thông minh) ta có thể dùng phép chụp cắt lớp để tìm trạng thái của tầng
ion. Trong hình dưới chúng tôi minh họa một phép tính (dùng phần mềm MIDAS phát
triển bởi University of Bath) về một cơn bão tầng ion (màu đỏ) đang phát triển ở
miền nam nước Mỹ.
Phát hiện mìn dưới
đất
Mìn chôn dưới đất
là một trong những khía cạnh dơ bẩn nhất của chiến tranh hiện đại. Chúng thường
được kích hoạt bởi những dây bẫy ngầm gắn với kíp nổ. Bất kỳ thuật toán nào để
phát hiện dây bẫy cũng phải hoạt động nhanh và không bị nhầm lẫn bởi những lá
cây và bụi cỏ ngụy trang. Một ví dụ cho vấn đề mà thuật toán phải đối mặt được
cho trong hình dưới, trong đó các dây bẫy được giấu trong một khu rừng nhân tạo.
Dò tìm những dây bẫy
bao gồm việc tìm những đường thẳng bị che giấu trong bức hình. May mắn là có
phương pháp làm việc đó, chính là phép biến đổi Radon! Với bài toán tìm dây dẫy,
ta không cần phải tìm phép ngược mà chỉ cần áp dụng thẳng phép biến đổi Radon
vào bức ảnh. Tất nhiên cuộc đời không giản đơn như thế với những hình ảnh thực
của các dây bẫy, và một số việc cần phải làm thêm để phát hiện chúng. Để áp dụng
phép biến đổi Radon, hình ảnh phải được tiền xử lý để làm nổi rõ các cạnh. Sau
khi biến đổi Radon cho hình ảnh được tiền xử lý, một bước xử lý nữa phải được
áp dụng để phân biệt những đường thẳng tạo bởi các dây (ứng với các giá trị lớn
của
) và các đường giả tạo bởi những nhánh lá nhỏ (với giá
trị
nhỏ hơn).
Sau một loạt các
phép tính điều chỉnh và các ước lượng giải tích cho một số lớn các hình ảnh
khác nhau, có thể tìm ra một thuật toán nhanh chóng tìm ra các đường dây bằng
cách lọc hình ảnh trước tiên, rồi áp dụng biến đổi Radon, sau đó áp dụng một
phép hậu xử lý và áp dụng phép biến đổi Radon ngược. Kết quả của việc áp dụng
phương pháp này đối với hình ảnh trên được chỉ ra dưới đây, với ba đường dây được
tô đậm.
Để ý cách mà
phương pháp này không chỉ phát hiện các dây bẫy, mà còn, từ độ rộng của các đường
tô đậm, chỉ ra khoảng tin cậy của phép toán.
Toán học thật sự
đã cứu nhiều mạng sống!
Về các tác giả
Chris Budd is Professor of Applied Mathematics at the University
of Bath, and Chair of Mathematics for the Royal Institution. He is particularly
interested in applying mathematics to the real world and promoting the public
understanding of mathematics.
He has recently co-written the popular mathematics book Mathematics
Galore!, published by Oxford University Press, with C. Sangwin.
Cathryn Mitchell is Professor of Electronic and Electrical
Engineering and EPSRC Research Fellow at the University of Bath. She is
interested in all sorts of tomography problems ranging from medical imaging to
space physics.