Dịch bởi Võ Đức Huy
Tất cả những gì bạn
cần là tưởng tượng
Khi đã dựng cảnh
xong, chúng ta vẫn còn đợi đạo diễn hô “Action!” và các nhân vật của chúng ta bắt
đầu chuyển động. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu toán học thổi sự sống vào những
hình ảnh của chúng ta như thế nào.
Một trong những
chuyển động căn bản củ a một đối tượng là quay quanh một trục cho trước và qua
một góc cho trước. Hình học tọa độ cho chúng ta những công cụ để tính toán vị
trí của mỗi điểm trên vật thể sau khi nó được quay, nhưng điều quan trọng là những
công cụ này nhanh và hiệu quả.
Để tìm những công
cụ này, chúng ta hãy lùi một bước về lớp học toán. Chúng ta biết rằng có hai
căn bậc hai của 25: +5 và -5 vì $\left ( +5 \right )^{2}=\left ( -5 \right )^{2}=25$
. Nhưng căn bậc hai của -25 là gì? Để tìm căn bậc hai
của số âm, các nhà toán học đặt ra một số mới, gọi là $i$
, với $i^{2}=-1$
. Khi đó, vì $\left ( \pm 5i \right )^{2}=25i^{2}=-25$ nên $\sqrt{-25}= \pm 5i$
.
Sự xuất hiện của $i$
giúp cho các
phương trình như $x^{2}=-1$ có lời giải. Và
các số có dạng $z=x+iy$
, gọi là số phức, trở thành một công cụ quan trọng
trong toán học. Nhưng nhiều người đã không thấy dễ chịu với con số kì lạ này.
Cuối cùng vào năm
1806 nhà toán học nghiệp dư Jean-Robert Argand đưa ra một cách biểu diễn hình học
cho các số phức. Argand gán cho mỗi số phức một điểm trên mặt phẳng, với số 1 nằm
trên một trục và số
trên trục còn lại.
Ví dụ, số phức $1+i$
ứng với điểm
(1,1). Tổng quát, một số phức $a+ib$
ứng với điểm $\left(a,b\right)$
.
Argand nhận ra rằng việc nhân số phức có một
mô tả hình học: phép quay. Hãy xem điều gì xảy ra khi ta nhân $1+i$
, biểu diễn
bởi điểm (1,1) với $i$:
Kết quả trên được
biểu diễn bởi điểm
, kết quả của phép quay 90 độ. Nhân với
lần nữa cho:
$i\left(-1+i\right)=-i-1=-1-i$
là điểm $\left(-1,-1\right)$
, kết quả của việc quay $90^{\circ}$ một lần nữa. Nhân cho
là chỉ dẫn cho
phép quay $90^{\circ}$! Thực tế, mọi phép quay, không chỉ phép $90^{\circ}$, đều có thể làm
được bằng cách nhân với một số phức.
Đến 3D
Nhà toán học Sir
William Rowan Hamilton có lẽ là cựu sinh viên nổi tiếng nhất của Trinity
College Dublin. Ông dành hai thập kỷ cuối của cuộc đời để tìm cách biểu diễn các phép quay trong không gian 3 chiều theo
cách tương tự như việc số phức biểu diễn phép quay trong không gian hai chiều.
Đến cuối đời
Hamilton tìm ra câu trả lời, dưới dạng mà ông gọi là các quaternion: những số
có dạng
$q=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$
với
$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ và $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$
là các số thực.
Tấm bảng kỷ niệm ở
Broom Bridge, nơi ông đã tìm ra quaternion khi đang đi dạo.
Giống như với các số phức, ta có thể mô tả các
quaternion theo cách hình học và dùng chúng để biểu diễn các phép quay. Lần này
không phải trên mặt phẳng, mà trong không gian ba chiều.
Để làm điều đó, các kí hiệu $i, j, k$
đại diện cho
các mặt phẳng cơ bản của không gian ba chiều:
$i$ biểu diễn mặt $yz$
, $j$
biểu diễn mặt $xz$
và $k$
biểu diễn mặt
$xy$, với các vector pháp tuyến ngoài $x,-y,z$ lần lượt.
Giả sử ta muốn quay điểm $a=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)$
một góc
quanh một trục đi qua gốc tọa độ cho bởi vector $b=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)$
. Chúng ta xây dựng hai quaternion $q_{1}$, $q_{2}$
bằng vector $b$
và góc quay
$\beta$:
$q_{1}=cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k\right)$
$q_{2}=cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k\right)$
Từ đó ta có thể nhân
$a$ (biểu diễn dưới
dạng tổ hợp của các vector đơn vị theo hướng $x,y,z$) với hai quaternion (tuân theo các luật đặc biệt về
phép nhân
$i,j,k$ và các vector
đơn vị) để được:
${a}'=q_{1}aq_{2}$
Kết quả là điểm
${a}'$ cho bởi phép
nhân này chính xác là điểm bạn muốn có khi quay điểm $a$
một góc
$\beta$ quanh trục cho
trước! Vậy, cũng như số phức được dùng để biểu diễn phép quay trên mặt phẳng,
quaternion được dùng để biểu diễn phép quay trong không gian 3 chiều.
Tia chớp thiên tài của Hamilton, khi ông đi dưới
cây cầu ở Dublin, trở thành công cụ hiệu quả nhất để quay vật thể trong không
gian 3 chiều. Nhưng không phải ai cũng thấy dễ chịu với phép nhân mới của ông.
Lord Kelvin, nhà vật lý, nói về các quaternion: “…dù đẹp đẽ thiên tài, nhưng chứa
đựng một sự dữ với những người đụng tới chúng dù bằng cách nào.”
Mối lo đặc biệt với một số người là việc nhân
hai quaternion phụ thuộc vào thứ tự của thừa số, một tính chất gọi là phi-giao
hoán. Ví dụ, từ phép nhân của Hamilton, có thể chứng minh
$ij=k$ và $ij=-k$
.
...(còn tiếp)
...(còn tiếp)