Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp - Kỳ 2

Dịch bởi Võ Đức Huy

  

CAT và Phép biến đổi Radon

Trước đây không lâu, nếu bạn có vấn đề trong cơ thể, bạn sẽ phải chịu giải phẫu để tìm hiểu. Bất kỳ cuộc giải phẫu nào cũng có nguy hiểm, nhất là với bộ não. Dù vậy, điều này không còn là vấn đề nữa. Như đã nói trong phần đầu, các bác sĩ đã có thể dùng nhiều kỹ thuật quét để nhìn vào bên trong cơ thể bạn một cách an toàn. Một máy quét CAT được minh họa trong hình sau.

Trong máy quét này, bệnh nhân nằm trên một chiếc giường và được đưa qua một khoảng trống giữa chiếc máy. Khoảng trống này chứa những nguồn tia X xoay xung quanh bệnh nhân. Các tia X từ nguồn này đi xuyên qua bệnh nhân và được thu lại ở phía đối diện. Cường độ của tia X được đo chính xác và các kết quả được tính toán. Hình dưới đây minh họa hình ảnh mặt cắt của chiếc máy, với bệnh nhân quy ước hình tròn.

Khi một tia X đi qua bệnh nhân, nó bị hấp thụ và bị giảm cường độ. Mức độ hấp thụ phụ thuộc vào vật liệu mà tia đi qua: cường độ của nó giảm nhiều hơn khi đi qua xương so với qua cơ, nội tạng hay khối u. Bước quan trọng trong việc tạo hình ảnh cơ thể từ việc đo tia X là tính toán cẩn thận các vật liệu khác nhau hấp thụ các tia X như thế nào.

Khi một tia X đi qua cơ thể, nó đi theo đường thẳng, và tổng hấp thụ của nó là tổ hợp của các lượng bị hấp thụ bởi các vật liệu mà nó đi qua. Để xem điều này xảy ra như thế nào, ta cần một ít toán giải tích. Tưởng tượng có một tia X đi theo đường thẳng và tại khoảng cách   từ nguồn nó có cường độ . Khi  tăng thì  giảm do hấp thụ. Bây giờ, nếu tia X đi qua một khoảng cách nhỏ , cường độ của nó bị giảm một lượng . Sự giảm này phụ thuộc vào cường độ của tia X và mật độ quang học  của vật liệu. Cho khoảng cách đủ nhỏ, lượng giảm cường độ liên hệ với mật độ quang học bởi công thức

Bây giờ, khi tia X đi vào cơ thể, nó sẽ có cường độ  và khi rời khỏi cơ thể nó có cường độ . Ta có thể tổng hợp tất cả sự hấp thụ của các phần cơ thể mà nó đi qua và đi đến

với

Đây là sự hấp thụ củ a một tia X và nó cho một vài thông tin về cơ thể. Dưới đây ta thấy một vật thể chiều bởi nhiều tia X và cường độ các tia đo bởi một bộ cảm ứng (detector). Ở đây một vài tia X đi qua toàn bộ vật thể và bị hấp thụ mạnh khiến cho cường độ của chúng (thu được ở trung điểm detector) thấp, trong khi các tia khác đi qua vật ít hơn và ít bị hấp thụ hơn. Vật thể cho một hình chiếu của các tia X và từ đây có thể tìm ra các kích thước của nó. Chúng tôi minh họa điều đó dưới đây.

Cường độ của tia X nơi nó gặp bộ cảm ứng phụ thuộc vào bề dày của vật thể và quãng đường nó di chuyển qua vật thể và qua không khí.

Đồ thị này cho thấy cường độ các tia khi gặp cảm ứng. Các tia đi qua toàn bộ bề dày của vật thể có cường độ nhỏ nhất, như ta thấy ở phần trũng xuống chính giữa. Những tia vừa sượt qua vật thể có cường độ cao nhất, vì chúng đi quãng đường ngắn nhất trong tất cả các tia không bị hấp thụ. Điều này được chứng tỏ ở hai đỉnh nhọn của đồ thị. Đồ thị giảm xuống hai bên cạnh, cho thấy các tia tương ứng đã di chuyển tưởng đối xa. (....còn tiếp)