Dịch bởi Nguyễn Thị Mai Linh
Nếu như tôi nói với ai đó rằng tôi là một nhà toán học chuyên về lĩnh vực tài chính thì thường họ sẽ nghĩ tôi là một nhân viên kế toán với tính khoe khoang, tự phụ. Tôi thấy khó chịu bởi việc những nhân viên kế toán không thích dùng các con số âm, một trong những công cụ toán học rất lâu đời.
Tung xúc xắc
Tôi bị cuốn vào toán tài chính không phải vì tôi quan tâm đến tài chính, mà vì tôi quan tâm đến việc đưa ra những quyết định tốt, đúng đắn khi đối mặt với những sự việc không chắc chắn. Các nhà toán học đã quan tâm đến đề tài “Đưa ra quyết định, chọn lựa” kể từ khi Girolamo Cardano khám phá ra những nội quy của các trò cờ bạc trong cuốn “Sách về những trò chơi cơ hội” (“Liber de Ludo Aleae” hay “Book on Games of Chance”) năm 1564. Cuốn sách đã đưa ra những thảo luận đầu tiên về ý tưởng của “xác suất toán học”. Cardano đã nhận xét rằng việc biết được xác suất để một con xúc xắc cân đối ra mặt 6 sau một lần tung là 1/6 thì không có ích gì cho những người chơi bạc, bởi lí do xác suất không thế dự đoán được tương lai. Nhưng nó sẽ có ích nếu như bạn đang cố thiết lập một trò chơi cờ bạc công bằng hoặc ngược lại, nó sẽ giúp ích trong việc đưa ra các quyết định đúng đắn.
Luật số lớn về trung bình của các lần tung xúc xắc
 |
| Giá trị trung bình khi tung xúc xắc sẽ tiến về 3.5 khi con xúc xắc được tung với số lần lớn. |
Không xét đến trường hợp ngoại lệ về sự đánh cược của Pascal (cơ bản là bạn không có gì để mất khi đánh cược rằng Chúa tồn tại), những khái niệm sơ khai ban đầu về xác suất, từ Cardano, qua Galileo và Fermat được đưa ra bằng cách xem xét các vấn đề cờ bạc. Các ý tưởng về xác suất này sau này được thu thập bởi Jacob Bernoulli (chú của Daniel) trong cuốn sách “Nghệ thuật phỏng đoán” của ông (“Ars Conjectandi” hay “The Art of Conjecturing”), một công trình quan trọng trong xác suất. Jacob Bernoulli đã giới thiệu “Luật số lớn” và chứng minh được rằng “Nếu chúng ta lập đi lập lại một thí nghiệm (ví dụ như tung xúc sắc) với số lần rất lớn, thì kết quả quan sát được (trung bình số điểm mà bạn tung) sẽ hội tụ về giá trị kỳ vọng. (Ví dụ như khi tung một con xúc sắc cân đối, giá trị kỳ vọng sẽ là (1+2+3+4+5+6)/6=3.5)
Lý thuyết độ đo
Xây dựng trên nền tảng công trình của Jacob Bernouli, “Lý thuyết xác suất” được phát triển bởi những người như Laplace vào thế kỷ thứ XVIII, và bởi Fisher, Neyman, Pearson vào thế kỷ XX. Kết hợp với thống kê, lý thuyết xác suất trở thành một công cụ thiết yếu của các nhà khoa học. Trong khoảng 30 năm đầu của thế kỷ XX, xác suất được gắn kết với việc suy luận các kết quả từ các dữ liệu quan sát như tuổi thọ của con người. Nhưng giống như nền khoa học quy nạp (nghĩa là kết quả lấy từ những lần quan sát thí nghiệm thực tế thì tốt hơn là kết quả lấy từ việc suy luận các bản chất toán học dựa trên các hệ tiên đề), xác suất chưa hoàn toàn tích hợp với toán học mãi cho đến khi Andrey Kolmogorov đưa ra “Xác suất với lý thuyết độ đo” vào năm 1933. Kolmogorov định nghĩa xác suất là một độ đo trên một họ các biến cố, không nhất thiết phải dựa trên tần số của biến cố.
Ý tưởng này sẽ là phản trực quan nếu như bạn đã được dạy rằng tính xác suất phải dựa trên việc đếm các biến cố, sự kiện, nhưng ý tưởng này có thể được giải thích bởi ví dụ đơn giản sau. Nếu tôi muốn đo giá trị của một bức tranh, tôi có thể làm bằng cách đo diện tích mà bức tranh này chiếm, dựa trên giá mà phiên đấu giá tranh đưa ra hay dựa trên nhận định của riêng bản thân tôi. Đối với Kolmogorov, tất cả những cách trên đều cho ra các độ đo chấp nhận được, và đều có thể chuyển sang “Độ đo xác suất”. Độ đo mà bạn chọn để giúp bạn đưa ra quyết định sẽ tùy thuộc vào vấn đề mà bạn đang giải quyết: ví dụ nếu như bạn muốn giải quyết vấn đề làm sao để phủ các bức tranh lên một bức tường thì độ đo diện tích là tốt nhất…
Kolmogorov đã xây dựng hệ tiên đề về xác suất, mà hiện nay đã được thừa nhận. Đầu tiên, xác suất để một biến cố xảy ra là một số thực không âm 
. Thứ hai, nếu bạn biết tất cả kết quả có thể xảy ra thì xác suất để một trong các kết quả xảy ra là 1 (ví dụ cho một xúc xắc 6 mặt, xác suất để tung được mặt 1, 2, 3, 4, 5 hay 6 là 
). Và cuối cùng, bạn có thể cộng các xác suất của các biến cố rời nhau (ví dụ xác suất để tung được một số chẵn là 
). (Bạn có thể đọc thêm về xác suất và sự phát triển của nó trên trang Understanding Uncertainty site, và các bài viết về độ đo trên Plus là một giới thiệu rất tốt về lý thuyết độ đo.)