Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp -Kỳ 1

Dịch bởi Võ Đức Huy

Toán học có thể bảo vệ mạng sống của chúng ta? Chắc chắn !!! Toán học được ứng dụng trong nhiều vấn đề quan trọng về sức khỏe và hạnh phúc của con người. Trong bài viết này chúng tôi sẽ mô tả cách toán học của phép chụp cắt lớp (tomography) đã trở thành một trong những công cụ toán quan trọng nhất trong vấn đề giữ gìn sức khỏe của bạn.

Y học hiện đại phụ thuộc nhiều vào các phương pháp chụp ảnh, bắt đầu với việc sử dụng tia X vào đầu thế kỷ 20.

Nói chung có hai hình thức chụp ảnh. Các phương pháp X-quang và siêu âm dùng một nguồn bức xạ nằm bên ngoài cơ thể. Tia bức xạ được thu lại sau khi đã đi qua cơ thể, và một hình ảnh được xây dựng dựa theo cách chúng được hấp thụ. Khi các tia X được sử dụng, quá trình này được gọi là CAT (computerised axial tomography). Từ tomography xuất phát từ tiếng Hi Lạp tomos, có nghĩa là “cắt”. Bài viết này xem xét chi tiết về qui trình này.

Cách chụp ảnh còn lại sử dụng nguồn bên trong cơ thể. Những cách này gồm chụp ảnh cộng hưởng từ (MRI), chụp cắt lớp bức xạ positron (PET) và chụp cắt lớp tính toán bức xạ photon đơn (SPECT). Những phương pháp này có một số tiến bộ so với CAT, cả trong chất lượng hình ảnh và tính an toàn, vì tia X có thể làm tổn thương các bộ phận mềm. Toán học dành cho tomography được tìm ra bởi Johann Radon năm 1917. Rất lâu sau đó, vào thập kỷ 1960s, nhà toán học Allan McLeod Cormack hợp tác với Godfrey Newbold Hounsfield phát triển dụng cụ quét đầu tiên, máy scan EMI nổi tiếng. Với công trình này, Cormack được giải Nobel. Những hình mẫu ban đầu chỉ có thể quét các vật thể lớn bằng đầu người, nhưng máy quét toàn cơ thể được chế tạo ngay sau đó.

Chụp ảnh y khoa thành công nhờ một tổ  hợp của những phép ước lượng rất cẩn thận, các thuật toán máy tính phức tạp, và toán học tiên tiến. Đó là toán học mà chúng ta sẽ tìm hiểu ở đây. Chúng tôi cũng chỉ ra toán học của phép chụp cắt lớp có nhiều ứng dụng khác, gồm việc chụp ảnh khí quyển, dò bom mìn và, ít thực dụng hơn, giải đố Sudoku.

Phân phối sữa và Sudoku Sát thủ

Trước khi đi sâu vào y học, chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản minh họa những nguyên lý của tomography và có liên hệ thú vị tới nhiều dạng Sudoku đang thịnh hành. Ví dụ này bao gồm việc phân phối sữa. Giả sử sữa và nước trái cây được cho vào các chai và đặt vào khay gồm 9 phần sắp xếp như một ô 3x3. Mỗi phần của khay chứa một chai có thể có sữa, nước trái cây hay rỗng. Câu hỏi là: ô nào chứa loại chai nào?

Điều không may là những cái khay khác được đặt chồng lên và ở dưới khay mà chúng ta quan tâm, do đó không thể nhìn phía trên hay dưới đáy khay. Có vẻ như vấn đề không thể giải quyết được. Dù vậy,chúng ta có thể nhìn chăm chú vào các cạnh và ước lượng bao nhiêu ánh sáng được hấp thụ với các góc độ khác nhau. Những loại chai khác nhau hấp thụ những lượng ánh sáng khác nhau. Đo đạc cẩn thận cho thấy các chai sữa hấp thu 3 đơn vị, nước ép hấp thu 2 đơn vị và chai rỗng hấp thu một đơn vị. Nếu một chùm sáng được chiếu xuyên các chai nước, sự hấp thụ được cộng dồn lại. Ví dụ, nếu chùm sáng đi qua một chai sữa rồi một chai nước ép, thì 5 đơn vị bị hấp thụ. Nếu nó đi qua ba chai rỗng thì 3 đơn vị bị hấp thụ.

Trong ví dụ sau chúng ta chỉ định tổng lượng ánh sáng bị hấp thụ khi chiếu tia sáng qua mỗi dòng và mỗi cột của hình vuông.

 Để giải bài toán này, chúng ta phải đặt các chai hấp thu 1,2 hay 3 đơn vị ánh sáng vào mỗi ô, với tổng các số ở hàng đầu bằng 5, hàng thứ hai bằng 6, vân vân. Cột ở giữa chứa 3 chai và hấp thụ 3 đơn vị sáng. Cách duy nhất để điều này xảy ra là mỗi ô của cột giữa chứa một chai rỗng hấp thụ một đơn vị mỗi chai. Còn những ô khác thì sao? Điều không may là chúng ta chưa có đủ thông tin để giải. Có đến hai khả năng:

Chúng ta đang gặp một tình huống hiếm thấy với một nhà toán học khi mà có đến hai đáp án hợp lý cho bài toán. Những bài toán như vậy được gọi là bài toán không chỉnh (ill-posed) và rất hay gặp khi chúng ta muốn tìm thông tin từ một hình ảnh. Để tìm hiểu chính xác các chai nước được phân bố thế nào, ta phải có thêm một ít thông tin. Một cách tìm thêm thông tin là cho ánh sáng đi qua đường chéo của khay. Chúng ta làm điều đó và tìm thấy 6 đơn vị bị hấp thụ từ góc trái trên xuống góc phải dưới, và 3 đơn vị từ góc trái dước lên góc phải trên. Từ thông tin thêm này, ta biết rằng đáp án đúng là đáp án đầu tiên. Có thể chứng minh là nếu ta đo được tất cả lượng ánh sáng hấp thụ bởi mỗi hàng, cột và đường chéo, thì có thể xác định duy nhất sự phân bố của các chai nước trong khay.

Vấn đề này  trông có vẻ tầm thường, nhưng nó tương tự như vấn đề chụp ảnh chúng ta sẽ bàn trong phần tiếp theo, và cho thấy tầm quan trọng của việc lấy thêm thông tin về lời giải để biết đáp án chính xác.

Nếu ví dụ này có vẻ quen với bạn, thì chính là như thế. Sudoku Sát thủ là một phiên bản nâng cao của Sudoku phổ biến. Trong Sudoku Sát thủ, cũng giống Sudoku, người chơi phải đặt các số 1 đến 9 vào một hình vuông sao cho mỗi số chỉ xuất hiện một lần trên mỗi dòng và mỗi cột. Nhưng thay vì cho người chơi vài số trước như trong Sudoku thường, Sudoku sát thủ cho bạn biết tổng của vài nhóm con số. Điều này chính là vấn đề được nói ở trên.

 (...còn tiếp)