Toán học đi vào điện ảnh - Phần 1

Dịch bởi Võ Đức Huy

Toán học trân trọng giới thiệu…

Tất cả chúng ta đều bị cuốn hút bởi những hình ảnh sống động trên phim tạo bởi máy tính. Điều mà phần lớn chúng ta không nhận ra là những con khủng long trong Công viên kỉ Jura và những kỳ quan trong Chúa tể những chiếc nhẫn sẽ không xuất hiện nếu không có toán học.

Nhưng những hình ảnh tuyệt vời này được tạo nên như thế nào? Đồ họa vi tính và thị giác máy tính là những chủ đề lớn. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem giản lược một vài công cụ toán dùng để tạo ra sản phẩm cuối cùng. Trước hết chúng ta tạo ra thế giới trong phim và cho nó sự sống.

Xây dựng khung cảnh

Bước đầu tiên để tạo ra một bộ phim từ máy tính là tạo ra các nhân vật trong câu chuyện và thế giới mà họ sống. Mỗi đối tượng trong số đó được mô hình hóa bởi những mặt tạo bởi các đa giác nối nhau (thường là các tam giác). Các đỉnh của mỗi tam giác được chứa trong bộ nhớ máy tính. Cần biết rằng mặt nào của tam giác nằm ở phía ngoài của đối tượng hay nhân vật. Thông tin này được mã hóa bằng thứ tự các đỉnh được lưu, theo quy tắc bàn tay phải (tương tự vật lý): cuộn ngón tay của bạn vòng quanh tam giác theo thứ tự cho bởi các đỉnh. Chỉ có một cách để làm điều đó, và ngón trỏ của bạn sẽ chỉ ra một mặt của tam giác- và đó là mặt ngoài. Nếu thử làm điều đó, bạn sẽ thấy hướng ngoài của tam giác (A,B,C) sẽ đối với hướng ngoài của tam giác (A,C,B).

 

Bây giờ bề mặt của vật thể là một lưới các tam giác, chúng ta có thể tô màu mỗi thành phần của nó. Ở đây điều quan trọng là nắm được ánh sáng của cảnh mà chúng ta đang mô hình hóa, và điều này được làm bằng một qui trình gọi là ray tracing. Từ điểm nhìn của chúng ta, ta lần các tia sáng ngược lại phía vật thể và để chúng được phản xạ trên đó. Nếu tia từ mắt chúng ta phản xạ từ một mặt (một tam giác trong lưới) về nguồn sáng, chúng ta tô mặt đó bằng màu sáng và nó trông như là được rọi từ nguồn sáng. Nếu tia sáng phản xạ không gặp nguồn sáng, ta tô mặt đó với màu tối hơn.

Để theo dõi một tia sáng ngược về một mặt, ta cần mô tả toán học cho bề mặt, và giải các phương trình liên quan đến tia sáng và mặt phẳng mô tả bởi mặt đó. Để làm điều đó, ta sử dụng vector. Chúng ta đặt không gian vào một hệ trục tọa độ 3 chiều với tâm - điểm (0,0,0) - ở điểm nhìn của ta. Một vector $v= \left ( a,b,c \right )$ biểu diễn một mũi tên bắt đầu từ tâm và kết thúc ở điểm với tọa độ a,b và c. Chúng ta có thể nhân $v$  với một số, ví dụ 2 , và được $2v=2\left ( a,b,c \right )= \left ( 2a,2b,2c \right )$ . Vậy $2v$  là mũi tên chỉ cùng hướng với  nhưng dài gấp đôi.

Giờ hãy xem xét biểu diễn $\lambda v$ , với $\lambda $  là một biến, nói cách khác là bất kỳ số thực nào. Biểu diễn này không còn xác định duy nhất một mũi tên với độ dài nhất định, vì độ dài đã trở thành biến số, nhưng nó chỉ hướng của mũi tên. Nói cách khác, biểu diễn này mô tả đường thẳng chứa vector $v$ . Nó mô tả một đường thẳng - một tia - đi từ tâm - mắt chúng ta - với hướng định bởi vector $v$ .

Mặt phẳng xác định bởi một mặt tam giác có thể biểu diễn bởi ba thông tin: vị trí của một đỉnh, giả sử  là đỉnh $a_{1}$ , cùng các vector biểu diễn đường thẳng từ $a_{1}$ đến $a_{2}$ và từ $a_{1}$ đến $a_{3}$ .

Để biết tia sáng cắt mặt phẳng ở đâu và tính toán phương trình của tia sáng bị phản xạ, ta cần giải các phương trình liên quan đến hai cách biểu diễn vừa nói.

Phương trình của một tia, với $\lambda $  là số thực và v là vecto:

$r=\lambda v$

Phương trình mặt phẳng định bởi tam giác có ba đỉnh $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$

$r=a_{1}+\mu_{1}\left(a_{2}-a_{1}\right)+\mu_{2}\left(a_{3}-a_{1}\right)$

(Bạn có thể xem chi tiết toán học về ray tracing trong bài báo đột phá của Turner Whitted, "An improved illumination model for shaded display", Communications of the ACM, Volume 23, Issue 6.) 

Ray tracing có thể tạo ra những cảnh rất giống thực nhưng nó rất chậm. Điều này chấp nhận được cho sản xuất phim, nhưng sẽ thành rắc rối nếu bạn cần hiệu ứng ánh sáng thời gian thực, như trong game trên máy tính. Những hiện tượng phức tạp như đổ bóng, khúc xạ và phản xạ đa hướng rất khó để được mô hình hóa động và những phương pháp toán tiên tiến hơn, như precomputed radiance transfer và radiosity được dùng ở đây.

Read More

Duyên nợ của số phức và hình học, lượng giác

Viết bởi Lưu Minh Đức, cộng tác viên

Có lẽ phần lớn chúng ta khi lần đầu tiên gặp phải số ảo i đều cảm thấy con số này kỳ quặc quá. Ai đời lại có con số mà bình phương lên lại ra số âm -1! Đó cũng là lý do mà trong khoảng thời gian đầu tiên số i được giới thiệu với cộng đồng toán học, nó đã từng bị coi là con số ngu ngốc (idiot) hoặc chỉ là sản phẩm của tưởng tượng (imaginary). Tuy nhiên càng ngày số phức càng tỏ ra hữu ích và dần dần trở thành không thể thiếu trong toán học cũng như trong vật lý và các tính toán ứng dụng (nhất là từ sau các công trình của 2 nhà toán học vĩ đại Euler và Gauss). Vậy thì có cách nhìn nào về con số i giúp chúng ta dễ hiểu hơn đẳng thức “kỳ quặc”:

$i^{2}=-1$

Vâng, Hamilton và một số nhà toán học khác đã khám phá ra cách nhìn như vậy. Khi đã hiểu được cách nhìn ấy ta không những thấy đẳng thức trên trở nên khá tự nhiên mà còn thấy được sự tự nhiên của một số công thức khác, ví dụ như CT De Moivre

$\left ( \cos \left ( \varphi  \right )+i\sin \left (\varphi   \right ) \right )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi  $

Chúng ta hãy cùng tìm hiểu cách nhìn ấy.

Ý nghĩa hình học của số phức:

Trước hết ta hãy nhìn số thực khác đi một chút như sau. Nhớ lại rằng khi ta nhân một số thực r với một vector v thì chính là ta thực hiện 1 phép co/giãn vector ấy (tùy theo |r| lớn hay nhỏ hơn 1) nhưng ta vẫn giữ nguyên phương của vector. Như vậy 1 số thực có thể coi như 1 phép biến hình co giãn (scaling; vì vậy số thực trong tiếng Anh còn có tên gọi khác là scalar) và tập các số thực là tập các phép co/giãn. Tuy nhiên các phép biến đổi này không thay đổi phương của vector vì vậy chúng không bao gồm phép quay. Nói cách khác nếu chỉ dùng các số thực thì không thể biểu diễn phép quay. Vậy thì liệu có loại số nào cho phép ta biểu diễn các phép quay? Hamilton đã chỉ cho ta thấy chúng chính là số phức!

Thật vậy, sau khi xem xét kỹ phép nhân các số phức, ông đã khám phá ra điều thú vị sau đây: nhân 1 vector với 1 số phức z tương đương với việc quay vector đó 1 góc nào đấy (tương ứng với số phức z, bạn sẽ rõ ngay góc này là gì trong phần tiếp theo).

Số i (hay chính xác hơn là phép nhân với i) biểu diễn phép quay góc $+90^{\circ}$. Khi đó đẳng thức $i^{2}=-1$ có thể được hiểu như sau. Vế trái $i^{2}$, nhân với i hai lần liên tiếp, chính là quay 1 vector liên tiếp 2 lần, mỗi lần bởi góc $+90^{\circ}$, tổng cộng là quay góc $180^{\circ}$ . Thế thì cũng như nhân vector đó với -1. Nên  $i^{2}=-1$.

Tổng quát hơn, Hamilton đã phát hiện ra là số phức $z=cos\varphi +i\sin \varphi $ (chính xác là phép nhân với z) biểu diễn phép quay góc $\varphi$ . (Đến đây bạn hãy thử lý giải xem tại sao trường hợp của số ảo i là 1 trường hợp riêng của nhận xét tổng quát này nhé). Hơn nữa tích hai số phức $z_{1}=cos\varphi _{1} +i\sin\varphi_{1}$ và $z_{2}=cos\varphi _{2} +i\sin\varphi_{2}$ chính là tích hợp nối (composition) của 2 phép quay với các góc $\varphi _{1}$  và  $\varphi _{2}$. Nói cách khác khi ta nhân 1 vector với tích $z_{1}z_{2}$ thì cũng giống như ta quay vector đó 1 góc $\varphi _{1}$ rồi quay tiếp kết quả 1 góc $\varphi _{2}$ . Bạn đã nhận ra điều gì chưa, phân tích này vừa cho chúng ta một chứng minh hình học của đẳng thức: 

 $\left ( cos\varphi _{1} +i\sin\varphi_{1} \right ).\left ( cos\varphi _{2} +i\sin\varphi_{2} \right )=cos\left ( \varphi _{1}+\varphi _{2} \right ) +i\sin\left ( \varphi_{1}+\varphi _{2} \right )$

(nếu bạn chưa nhận ra thì hãy thử suy nghĩ thêm một chút, không khó đâu bạn ạ. Bạn nào chưa thấy chứng minh công thức này bằng biến đổi lượng giác thì cũng có thể thử tự chứng minh hoặc tìm trong các sách về số phức.)

Nếu nhân 2 số phức là thực hiện liên tiếp 2 phép quay thì lũy thừa một số phức $z=cos\varphi +i\sin \varphi $  lên n lần là gì nhỉ? Hura, đó chính là quay liên tiếp n lần với cùng 1 góc $\varphi$ , tức là quay góc $n\varphi$! Bạn biết tôi đang đề cập đến cái gì không, một cách nhìn khác cho công thức De Moivre đấy: 

  $\left ( cos\varphi +i\sin\varphi \right )^{n}=  cos n\varphi +i\sin n\varphi$

Kết thúc kỳ này có 1 câu hỏi nhỏ dành cho bạn:
Phép nhân với số phức tổng quát $z=r\left( cos\varphi +isin\varphi \right)$ tương ứng với các phép biến hình nào?

       

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp - Kỳ 4

Dịch bởi Võ Đức Huy

Chụp cắt lớp, GPS và việc hạ cánh máy bay an toàn

Quay quanh trái đất là rất nhiều vệ tinh GPS đang truyền tín hiệu radio xuống mặt đất. Nếu bạn có thể phát hiện những tín hiệu và tìm độ lệch pha giữa tín hiệu từ những vệ tinh khác nhau, bạn có thể xác định vị trí của mình với độ chính xác cao. Các phương pháp định vị GPS được sử dụng rộng rãi bởi các hệ thống định hướng máy bay, các thiết bị SATNAV và những người leo núi. Dù vậy, một trong những vấn đề của hệ thống này là những dao động từ tầng ion (tầng trên của khí quyển Trái đất) có thể ảnh hưởng đến tín hiệu radio và làm chúng bị lệch một ít. Sự lệch pha này sẽ dẫn đến sai sót trong vị trí cho bởi hệ thống GPS. Những sai sót này không lớn và chấp nhận được cho việc định hướng. Thế nhưng, với việc hạ cánh máy bay thì điều quan trọng là biết chính xác độ cao mà một sai lệch nhỏ cũng dẫn đến hậu quả lớn. Ở đây một hiểu biết chính xác về tầng ion là điều cốt yếu.

Có những lí do khác cho việc tìm hiểu tầng ion. Lí do dẫn đầu là tầng ion có ảnh hưởng rất đáng kể tới đường truyền của sóng radio và truyền thông nói chung. Nói đơn sơ, tầng ion có thể phản xạ sóng radio, làm tăng đáng kể phạm vi truyền tín hiệu.

Đáng chú ý là có thể dùng chụp cắt lớp để thăm dò trạng thái của tầng ion. Trong vấn đề vẽ hình ảnh bệnh nhân, chúng ta chiếu tia X qua cơ thể họ. Để vẽ hình ảnh của tầng ion, chúng ta dùng tín hiệu từ các vệ tinh GPS. Chúng tạo nên những “đường thẳng” đi xuyên qua tầng ion. Đường đi của chúng được minh họa trong hình dưới đây.

Pha của các sóng radio bị ảnh hưởng bởi các electron của khí quyển, do đó tổng thay đổi trong pha tỉ lệ với tích phân mật độ electron dọc đường truyền. Nếu ta có thể đo những thay đổi trong pha, ta có thể ước lượng mật độ electron và tìm ra biến đổi Radon của mật độ electron. Chúng ta gần như ở cùng một hoàn cảnh với bài toán chụp ảnh y khoa và có vẻ như có thể tìm mật độ electron tại bất kỳ điểm nào trong khí quyển.

Không hẳn là vậy. Có hai khác biệt lớn giữa vấn đề này và bài toán CAT. Trước hết, các vệ tinh phải di chuyển thường xuyên theo Trái đất. Thứ hai, có những vùng lớn trên Trái đất mà tại đó ta không thể đo được. Những vùng đó gồm các đại dương, nơi không có thiết bị thu sóng vệ tinh, và hai cực, nơi không có vệ tinh ở trên chúng. Do đó chúng ta có ít thông tin hơn nhiều so với trường hợp của bài toán quét CAT. Điều đó nghĩa là chúng ta thường ở trong tình huống của người đưa sữa không phân biệt được hai cách sắp xếp chai sữa khác nhau, vì cả hai cách đều dẫn đến cùng một kết quả đo như nhau.

Để vượt qua vấn đề này, ta cần một thông tin tiên khởi (a priori information) về trạng thái của tầng ion, nói cách khác là một phỏng đoán có lý về về lời giải. Điều này giúp chúng ta loại bỏ những lời giải không hợp với phỏng đoán và chọn lời giải càng giống phỏng đoán càng tốt. May mắn thay, ta có đủ hiểu biết về tính chất vật lý của tầng ion để làm cho phỏng đoán của ta đủ gần với sự thật. Bằng cách đó (cùng vài cải tiến thông minh) ta có thể dùng phép chụp cắt lớp để tìm trạng thái của tầng ion. Trong hình dưới chúng tôi minh họa một phép tính (dùng phần mềm MIDAS phát triển bởi University of Bath) về một cơn bão tầng ion (màu đỏ) đang phát triển ở miền nam nước Mỹ.

Phát hiện mìn dưới đất

Mìn chôn dưới đất là một trong những khía cạnh dơ bẩn nhất của chiến tranh hiện đại. Chúng thường được kích hoạt bởi những dây bẫy ngầm gắn với kíp nổ. Bất kỳ thuật toán nào để phát hiện dây bẫy cũng phải hoạt động nhanh và không bị nhầm lẫn bởi những lá cây và bụi cỏ ngụy trang. Một ví dụ cho vấn đề mà thuật toán phải đối mặt được cho trong hình dưới, trong đó các dây bẫy được giấu trong một khu rừng nhân tạo.

Dò tìm những dây bẫy bao gồm việc tìm những đường thẳng bị che giấu trong bức hình. May mắn là có phương pháp làm việc đó, chính là phép biến đổi Radon! Với bài toán tìm dây dẫy, ta không cần phải tìm phép ngược mà chỉ cần áp dụng thẳng phép biến đổi Radon vào bức ảnh. Tất nhiên cuộc đời không giản đơn như thế với những hình ảnh thực của các dây bẫy, và một số việc cần phải làm thêm để phát hiện chúng. Để áp dụng phép biến đổi Radon, hình ảnh phải được tiền xử lý để làm nổi rõ các cạnh. Sau khi biến đổi Radon cho hình ảnh được tiền xử lý, một bước xử lý nữa phải được áp dụng để phân biệt những đường thẳng tạo bởi các dây (ứng với các giá trị lớn của ) và các đường giả tạo bởi những nhánh lá nhỏ (với giá trị  nhỏ hơn).

Sau một loạt các phép tính điều chỉnh và các ước lượng giải tích cho một số lớn các hình ảnh khác nhau, có thể tìm ra một thuật toán nhanh chóng tìm ra các đường dây bằng cách lọc hình ảnh trước tiên, rồi áp dụng biến đổi Radon, sau đó áp dụng một phép hậu xử lý và áp dụng phép biến đổi Radon ngược. Kết quả của việc áp dụng phương pháp này đối với hình ảnh trên được chỉ ra dưới đây, với ba đường dây được tô đậm.

Để ý cách mà phương pháp này không chỉ phát hiện các dây bẫy, mà còn, từ độ rộng của các đường tô đậm, chỉ ra khoảng tin cậy của phép toán.

Toán học thật sự đã cứu nhiều mạng sống!

Về các tác giả

Chris Budd is Professor of Applied Mathematics at the University of Bath, and Chair of Mathematics for the Royal Institution. He is particularly interested in applying mathematics to the real world and promoting the public understanding of mathematics.

He has recently co-written the popular mathematics book Mathematics Galore!, published by Oxford University Press, with C. Sangwin.

Cathryn Mitchell is Professor of Electronic and Electrical Engineering and EPSRC Research Fellow at the University of Bath. She is interested in all sorts of tomography problems ranging from medical imaging to space physics.

http://plus.maths.org/content/os/issue47/features/budd/index

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp- Kỳ 3

Dịch bởi Võ Đức Huy

CAT và phép biến đổi Radon (tiếp theo)

Dù vậy, bí quyết của CAT là tìm hiểu nhiều hơn nữa về bản chất vật thể hơn là kích thước của nó, bằng cách xem xét sự hấp thụ của càng nhiều tia X càng tốt. Để làm điều đó, ta cần nghĩ tới một só tia X với góc  và khoảng cách  khác nhau từ tâm của vật. Một tia X như vậy được minh họa bên dưới.

Tia X này đi qua một loạt các điểm $\left ( x,y \right )$  với mật độ quang học $u\left ( x,y \right )$ . Phương trình đường thẳng cho

$\left ( x,y \right )= \left ( \rho \cos\left ( \Theta  \right ) -s\sin \left ( \Theta  \right ),\rho\sin \left ( \Theta  \right )+s\cos \left ( \Theta  \right )  \right )$

trong đó $s$ là khoảng cách dọc theo tia X. Khi đó ta có

$l_{1}=l_{0}e^{-R\left ( \rho ,\Theta  \right )}$

 với 

$R\left ( \rho ,\Theta  \right )=\int u\left ( \rho \cos\left ( \Theta  \right ) -s\sin \left ( \Theta  \right ),\rho\sin \left ( \Theta  \right )+s\cos \left ( \Theta  \right )  \right )ds$

Hàm $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ được gọi là biến đổi Radon của hàm $u\left ( x,y \right )$. Khi  càng lớn, tia X chiếu theo góc tương ứng càng bị hấp thu nhiều. Phép biến đổi này nằm trong cốt lõi của các máy quét CAT và các vấn đề trong ngành chụp ảnh cắt lớp. Nó được nghiên cứu trước tiên bởi Johann Radon năm 1917. (Radon cũng nổi tiếng với những khám phá quan trọng liên quan đến một nhánh của toán học gọi là lý thuyết độ đo, nền tảng của phép tính tích phân). Bằng cách đo sự hấp thụ tia X tại càng nhiều góc càng tốt, ta có thể ước lượng hàm số này với độ chính xác cao. Câu hỏi lớn của toán chụp cắt lớp là làm sao quay ngược phép biến đổi Radon, nói cách khác:
Chúng ta có thể tìm  $u\left ( x,y \right )$ từ $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ ?
Thật tình cờ, đây cũng chính là bài toán của người phát sữa trong phần trước. Câu trả lời ngắn gọn là CÓ, với điều kiện là ta làm đủ các phép đo chính xác. Một giải thích chi tiết hơn có thể tìm thấy ở http://plus.maths.org/content/os/issue47/features/budd/maths (dành cho những người dũng cảm). Tuy nhiên, để tạo động lực, một ví dụ đơn giản sẽ được đưa ra đây. Trong hai hình sau chúng ta thấy một hình vuông ở bên trái và phép biến đổi Radon của nó với các giá trị lớn của $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ tại các điểm tối màu ở bên phải.

Điểm cần để ý trong hai hình này là bốn cạnh của hình vuông cho những điểm với cường độ cao (đánh dấu mũi tên) trong biến đổi Radon. Những điểm được đánh dấu cho hướng của đường thẳng và khoảng cách của chúng tới tâm của hình vuông. Những cạnh này cho giá trị lớn của  tại những điểm nhất định là do những tia X đi qua các đường này được hấp thụ rất mạnh, trong khi những tia đi chệch một chút lại khó bị hấp thụ.

Cơ bản biến đổi Radon rất hữu ích trong việc tìm những đường thẳng trong một hình. Một phương pháp tìm $u\left ( x,y \right )$ , gọi là filtered back projection algorithm, được thực hiện (thô) bằng cách giả định hình ảnh ban đầu được tạo bởi các đường thẳng và vẽ chúng ứng với các giá trị cao của . Phương pháp này nhanh nhưng có thể không chính xác. Dù vậy, có thể tìm $u\left ( x,y \right )$  nhanh và chính xác, và những thuật toán để làm điều đó được cài đặt vào các máy quét. Phát triển ban đầu của những máy này dùng một công cụ toán gọi là biến đổi Fourier để đi ngược phép biến đổi Radon. Nếu bạn cần một vài giải thích chặt chẽ, hãy đọc bài viết được nói ở trên. Đa số toán được dùng đến là ở trình độ đại học, nhưng bài viết có nhiều ý tưởng toán đáng yêu.

Chụp cắt lớp có những ứng dụng khác ngoài y học. Một ví dụ thú vị đến từ khảo cổ học, với việc dùng chụp cắt lớp để tìm hiểu cái chết của vua Tutankhamen. Một phép quét CAT cho xác ướp cho thấy một vết sưng ở đầu gối, cho thấy cái chết là hậu quả của nhiễm trùng nặng. Nguyên nhân của việc này có thể là vết thương từ một cú ngã. Tuy vậy, máy CAT không thể cho biết Tutankhamen bị ngã do tai nạn hay do một âm mưu nào đó.

Tổng quát hơn, ta có thể dùng chụp cắt lớp trong bất kỳ vấn đề nào mà thông tin cho bởi trung bình của một hàm số dọc một đường thẳng. Phép chụp này cũng hữu ích trong việc tìm bằng chứng cho những đường thẳng trong một hình ảnh (như cạnh của một vật). Chúng ta sẽ tìm hiểu hai ví dụ về cách dùng phép chụp cắt lớp.
(còn tiếp).....

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp - Kỳ 2

Dịch bởi Võ Đức Huy

  

CAT và Phép biến đổi Radon

Trước đây không lâu, nếu bạn có vấn đề trong cơ thể, bạn sẽ phải chịu giải phẫu để tìm hiểu. Bất kỳ cuộc giải phẫu nào cũng có nguy hiểm, nhất là với bộ não. Dù vậy, điều này không còn là vấn đề nữa. Như đã nói trong phần đầu, các bác sĩ đã có thể dùng nhiều kỹ thuật quét để nhìn vào bên trong cơ thể bạn một cách an toàn. Một máy quét CAT được minh họa trong hình sau.

Trong máy quét này, bệnh nhân nằm trên một chiếc giường và được đưa qua một khoảng trống giữa chiếc máy. Khoảng trống này chứa những nguồn tia X xoay xung quanh bệnh nhân. Các tia X từ nguồn này đi xuyên qua bệnh nhân và được thu lại ở phía đối diện. Cường độ của tia X được đo chính xác và các kết quả được tính toán. Hình dưới đây minh họa hình ảnh mặt cắt của chiếc máy, với bệnh nhân quy ước hình tròn.

Khi một tia X đi qua bệnh nhân, nó bị hấp thụ và bị giảm cường độ. Mức độ hấp thụ phụ thuộc vào vật liệu mà tia đi qua: cường độ của nó giảm nhiều hơn khi đi qua xương so với qua cơ, nội tạng hay khối u. Bước quan trọng trong việc tạo hình ảnh cơ thể từ việc đo tia X là tính toán cẩn thận các vật liệu khác nhau hấp thụ các tia X như thế nào.

Khi một tia X đi qua cơ thể, nó đi theo đường thẳng, và tổng hấp thụ của nó là tổ hợp của các lượng bị hấp thụ bởi các vật liệu mà nó đi qua. Để xem điều này xảy ra như thế nào, ta cần một ít toán giải tích. Tưởng tượng có một tia X đi theo đường thẳng và tại khoảng cách   từ nguồn nó có cường độ . Khi  tăng thì  giảm do hấp thụ. Bây giờ, nếu tia X đi qua một khoảng cách nhỏ , cường độ của nó bị giảm một lượng . Sự giảm này phụ thuộc vào cường độ của tia X và mật độ quang học  của vật liệu. Cho khoảng cách đủ nhỏ, lượng giảm cường độ liên hệ với mật độ quang học bởi công thức

Bây giờ, khi tia X đi vào cơ thể, nó sẽ có cường độ  và khi rời khỏi cơ thể nó có cường độ . Ta có thể tổng hợp tất cả sự hấp thụ của các phần cơ thể mà nó đi qua và đi đến

với

Đây là sự hấp thụ củ a một tia X và nó cho một vài thông tin về cơ thể. Dưới đây ta thấy một vật thể chiều bởi nhiều tia X và cường độ các tia đo bởi một bộ cảm ứng (detector). Ở đây một vài tia X đi qua toàn bộ vật thể và bị hấp thụ mạnh khiến cho cường độ của chúng (thu được ở trung điểm detector) thấp, trong khi các tia khác đi qua vật ít hơn và ít bị hấp thụ hơn. Vật thể cho một hình chiếu của các tia X và từ đây có thể tìm ra các kích thước của nó. Chúng tôi minh họa điều đó dưới đây.

Cường độ của tia X nơi nó gặp bộ cảm ứng phụ thuộc vào bề dày của vật thể và quãng đường nó di chuyển qua vật thể và qua không khí.

Đồ thị này cho thấy cường độ các tia khi gặp cảm ứng. Các tia đi qua toàn bộ bề dày của vật thể có cường độ nhỏ nhất, như ta thấy ở phần trũng xuống chính giữa. Những tia vừa sượt qua vật thể có cường độ cao nhất, vì chúng đi quãng đường ngắn nhất trong tất cả các tia không bị hấp thụ. Điều này được chứng tỏ ở hai đỉnh nhọn của đồ thị. Đồ thị giảm xuống hai bên cạnh, cho thấy các tia tương ứng đã di chuyển tưởng đối xa. (....còn tiếp)

Read More

Giới thiệu về cuộc thi Đi tìm lời giải 2012 - Lần IX

Đây là cuộc thi học thuật truyền thống được tổ chức đều đặn các năm của khoa toán tin học. Qua 8 mùa thi, năm nay Đi tìm lời giải sẽ quay lại với một diện mạo mới với sự kịch tính và thú vị với những vòng thi mới và giá trị giải thưởng hấp dẫn hơn.

Chuyên san EXP rất hân hạnh được mang đến cho các bạn những thông tin nóng hổi theo dòng sự kiện của mùa giải 2012.

THÔNG BÁO SỐ 1 

1. Hình thức các vòng thi

- Thành lập đội thi đấu từ 5 đến 7 thành viên. Đội thi đấu KHÔNG có quá bán số thành viên đã tham gia vào vòng chung kết cuộc thi “Đi tìm lời giải” các mùa trước (với đội 5 thành viên không quá 2 thành viên; đội 6,7 thành viên không quá 3 thành viên).
- Lệ phí thi: 60.000 VNĐ
- Vòng loại: thi trắc nghiệm cá nhân. Đề thi gồm 40 câu hỏi trong thời gian 60 phút, lấy điểm trung bình của 5 thành viên có điểm cao nhất trong đội. 
- Chọn ra 27 đội (có thể thay đổi tùy theo tình hình) vào vòng sơ kết. Trong trường hợp, có các đội đồng điểm, BTC sẽ xét đến chỉ số phụ của các đội. Chỉ số phụ là số câu trả lời đúng của các câu hỏi số 10, 20, 30, 40 trong đề thi. 
- Kết thúc vòng sơ kết chọn ra 9 đội vào vòng bán kết.
- Kết thúc bán kết chọn 3 đội vào trận chung kết. 
- Từ vòng sơ kết, các đội sẽ thi theo hình thức đối kháng sân khấu với mỗi trận đấu gồm 3 đội thi .

2. Thời gian các vòng thi

2.1. Vòng sơ loại
- Thời gian: 13h00 ngày 25/03/2012 (Chủ nhật). 
- Địa điểm: Giảng đường 2, Cơ sở Nguyễn Văn Cừ, ĐH Khoa học Tự nhiên. 
- Nếu có phát sinh thêm về địa điểm, BTC sẽ thông báo sớm nhất cho các thí sinh.

2.2. Vòng sơ kết
Trận Thời gian Địa điểm
Sơ kết 1 07h30 ngày 07/04/2012 (Thứ 7) Giảng đường 1, Cơ sở Nguyễn Văn Cừ
Sơ kết 2 08h45 ngày 07/04/2012 (Thứ 7) 
Sơ kết 3 10h00 ngày 07/04/2012 (Thứ 7) 
Sơ kết 4 07h30 ngày 08/04/2012 (Chủ nhật) Giảng đường 2, Cơ sở Nguyễn Văn Cừ
Sơ kết 5 08h45 ngày 08/04/2012 (Chủ nhật) 
Sơ kết 6 10h00 ngày 08/04/2012 (Chủ nhật) 
Sơ kết 7 13h00 ngày 08/04/2012 (Chủ nhật) 
Sơ kết 8 14h15 ngày 08/04/2012 (Chủ nhật) 
Sơ kết 9 15h30 ngày 08/04/2012 (Chủ nhật) 

2.3. Vòng bán kết
Trận Thời gian Địa điểm
Bán kết 1 12h30 ngày 15/04/2012 (Chủ nhật) Giảng đường 1, Cơ sở Nguyễn Văn Cừ
Bán kết 2 14h00 ngày 15/04/2012 (Chủ nhật) 
Bán kết 3 15h30 ngày 15/04/2012 (Chủ nhật) 

2.4. Vòng chung kết
Trận Thời gian Địa điểm
Chung kết 08h00 ngày 22/04/2012 (Chủ nhật) Giảng đường 1, Cơ sở Nguyễn Văn Cừ

ĐĂNG KÝ

THÔNG TIN CHI TIẾT VÀ TRAO ĐỔI

3. Cơ cấu giải thưởng:

- Giải I: 5.000.000 đồng
- Giải II: 3.500.000 đồng
- Giải III: 1.500.000 đồng
Ngoài ra, còn nhiều phần thưởng hấp dẫn đến từ các nhà tài trợ. 

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp -Kỳ 1

Dịch bởi Võ Đức Huy

Toán học có thể bảo vệ mạng sống của chúng ta? Chắc chắn !!! Toán học được ứng dụng trong nhiều vấn đề quan trọng về sức khỏe và hạnh phúc của con người. Trong bài viết này chúng tôi sẽ mô tả cách toán học của phép chụp cắt lớp (tomography) đã trở thành một trong những công cụ toán quan trọng nhất trong vấn đề giữ gìn sức khỏe của bạn.

Y học hiện đại phụ thuộc nhiều vào các phương pháp chụp ảnh, bắt đầu với việc sử dụng tia X vào đầu thế kỷ 20.

Nói chung có hai hình thức chụp ảnh. Các phương pháp X-quang và siêu âm dùng một nguồn bức xạ nằm bên ngoài cơ thể. Tia bức xạ được thu lại sau khi đã đi qua cơ thể, và một hình ảnh được xây dựng dựa theo cách chúng được hấp thụ. Khi các tia X được sử dụng, quá trình này được gọi là CAT (computerised axial tomography). Từ tomography xuất phát từ tiếng Hi Lạp tomos, có nghĩa là “cắt”. Bài viết này xem xét chi tiết về qui trình này.

Cách chụp ảnh còn lại sử dụng nguồn bên trong cơ thể. Những cách này gồm chụp ảnh cộng hưởng từ (MRI), chụp cắt lớp bức xạ positron (PET) và chụp cắt lớp tính toán bức xạ photon đơn (SPECT). Những phương pháp này có một số tiến bộ so với CAT, cả trong chất lượng hình ảnh và tính an toàn, vì tia X có thể làm tổn thương các bộ phận mềm. Toán học dành cho tomography được tìm ra bởi Johann Radon năm 1917. Rất lâu sau đó, vào thập kỷ 1960s, nhà toán học Allan McLeod Cormack hợp tác với Godfrey Newbold Hounsfield phát triển dụng cụ quét đầu tiên, máy scan EMI nổi tiếng. Với công trình này, Cormack được giải Nobel. Những hình mẫu ban đầu chỉ có thể quét các vật thể lớn bằng đầu người, nhưng máy quét toàn cơ thể được chế tạo ngay sau đó.

Chụp ảnh y khoa thành công nhờ một tổ  hợp của những phép ước lượng rất cẩn thận, các thuật toán máy tính phức tạp, và toán học tiên tiến. Đó là toán học mà chúng ta sẽ tìm hiểu ở đây. Chúng tôi cũng chỉ ra toán học của phép chụp cắt lớp có nhiều ứng dụng khác, gồm việc chụp ảnh khí quyển, dò bom mìn và, ít thực dụng hơn, giải đố Sudoku.

Phân phối sữa và Sudoku Sát thủ

Trước khi đi sâu vào y học, chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản minh họa những nguyên lý của tomography và có liên hệ thú vị tới nhiều dạng Sudoku đang thịnh hành. Ví dụ này bao gồm việc phân phối sữa. Giả sử sữa và nước trái cây được cho vào các chai và đặt vào khay gồm 9 phần sắp xếp như một ô 3x3. Mỗi phần của khay chứa một chai có thể có sữa, nước trái cây hay rỗng. Câu hỏi là: ô nào chứa loại chai nào?

Điều không may là những cái khay khác được đặt chồng lên và ở dưới khay mà chúng ta quan tâm, do đó không thể nhìn phía trên hay dưới đáy khay. Có vẻ như vấn đề không thể giải quyết được. Dù vậy,chúng ta có thể nhìn chăm chú vào các cạnh và ước lượng bao nhiêu ánh sáng được hấp thụ với các góc độ khác nhau. Những loại chai khác nhau hấp thụ những lượng ánh sáng khác nhau. Đo đạc cẩn thận cho thấy các chai sữa hấp thu 3 đơn vị, nước ép hấp thu 2 đơn vị và chai rỗng hấp thu một đơn vị. Nếu một chùm sáng được chiếu xuyên các chai nước, sự hấp thụ được cộng dồn lại. Ví dụ, nếu chùm sáng đi qua một chai sữa rồi một chai nước ép, thì 5 đơn vị bị hấp thụ. Nếu nó đi qua ba chai rỗng thì 3 đơn vị bị hấp thụ.

Trong ví dụ sau chúng ta chỉ định tổng lượng ánh sáng bị hấp thụ khi chiếu tia sáng qua mỗi dòng và mỗi cột của hình vuông.

 Để giải bài toán này, chúng ta phải đặt các chai hấp thu 1,2 hay 3 đơn vị ánh sáng vào mỗi ô, với tổng các số ở hàng đầu bằng 5, hàng thứ hai bằng 6, vân vân. Cột ở giữa chứa 3 chai và hấp thụ 3 đơn vị sáng. Cách duy nhất để điều này xảy ra là mỗi ô của cột giữa chứa một chai rỗng hấp thụ một đơn vị mỗi chai. Còn những ô khác thì sao? Điều không may là chúng ta chưa có đủ thông tin để giải. Có đến hai khả năng:

Chúng ta đang gặp một tình huống hiếm thấy với một nhà toán học khi mà có đến hai đáp án hợp lý cho bài toán. Những bài toán như vậy được gọi là bài toán không chỉnh (ill-posed) và rất hay gặp khi chúng ta muốn tìm thông tin từ một hình ảnh. Để tìm hiểu chính xác các chai nước được phân bố thế nào, ta phải có thêm một ít thông tin. Một cách tìm thêm thông tin là cho ánh sáng đi qua đường chéo của khay. Chúng ta làm điều đó và tìm thấy 6 đơn vị bị hấp thụ từ góc trái trên xuống góc phải dưới, và 3 đơn vị từ góc trái dước lên góc phải trên. Từ thông tin thêm này, ta biết rằng đáp án đúng là đáp án đầu tiên. Có thể chứng minh là nếu ta đo được tất cả lượng ánh sáng hấp thụ bởi mỗi hàng, cột và đường chéo, thì có thể xác định duy nhất sự phân bố của các chai nước trong khay.

Vấn đề này  trông có vẻ tầm thường, nhưng nó tương tự như vấn đề chụp ảnh chúng ta sẽ bàn trong phần tiếp theo, và cho thấy tầm quan trọng của việc lấy thêm thông tin về lời giải để biết đáp án chính xác.

Nếu ví dụ này có vẻ quen với bạn, thì chính là như thế. Sudoku Sát thủ là một phiên bản nâng cao của Sudoku phổ biến. Trong Sudoku Sát thủ, cũng giống Sudoku, người chơi phải đặt các số 1 đến 9 vào một hình vuông sao cho mỗi số chỉ xuất hiện một lần trên mỗi dòng và mỗi cột. Nhưng thay vì cho người chơi vài số trước như trong Sudoku thường, Sudoku sát thủ cho bạn biết tổng của vài nhóm con số. Điều này chính là vấn đề được nói ở trên.

 (...còn tiếp)

Read More

Buổi nói chuyện của Giáo sư Randall J. LeVeque

Buổi nói chuyện của Giáo sư Randall J. LeVeque

Giáo sư Randall J. LeVeque, Đại học Washington là một chuyên gia trong lĩnh vực tính toán nâng cao. Giáo sư sẽ có buổi nói chuyện vào lúc 9 giờ sáng thứ Tư, 21/03/2012 tại phòng F207. Kính mời sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh và những ai quan tâm đến tham dự. ----------------------------------------------------------------- The GeoClaw Software for Tsunamis and Other Hazardous Flows  Randall J. LeVeque Applied Mathematics Department University of Washington Many geophysical flows over topography can be modeled by two-dimensional depth-averaged fluid dynamics equations.  The shallow water equations are the simplest example of this type, and are often sufficiently accurate for simulating tsunamis and other large-scale flows. These partial differential equations are hyperbolic and can be modeled using high-resolution finite volume methods. However, several features of these flows lead to new algorithmic challenges, such as the fact that the depth goes to zero at the edge of the flow and that vastly differing spatial scales must often be modeled, making adaptive mesh refinement essential. I will discuss some of these algorithms and the GeoClaw software, a specialized version of Clawpack that is aimed at solving real-world geophysical flow problems over topography. I'll show results of some recent benchmarking studies and from efforts to compare proposed earthquake mechanisms for the 11 March 2011 Great Tohoku Tsunami. Nguồn Khoa toán tin học

Read More