Toán học đi vào điện ảnh - Phần 3

Dịch bởi Võ Đức Huy

Đưa sức sống vào những hình ảnh

Phát minh của Hamilton đang được dùng trong nhiều ứng dụng đồ họa để di chuyển các vật thể và tạo ra chuyển động. Hai trong số những công cụ quan trọng nhất của đồ họa máy tính là deformation (biến dạng) và interpolation (nội suy). Phép nội suy và các kỹ thuật keyframing gồm việc xác định vị trí và hình dạng ban đầu và kết thúc của vật thể rồi cho máy tính tìm ra các trạng thái trung gian, như trong hình dưới.

Deformation là cách tạo ra những vật thể phức tạp từ những vật đơn giản. Một tấm vải phủ lên một quả cầu bị biến dạng, như trong hình dưới, có thể được tìm ra bằng cách biến đổi toán học cùng một cảnh với quả cầu bình thường. Cả deformation và interpolation đều cần các kỹ thuật toán nhanh và ổn định mà các phương pháp dựa trên quaternion có thể đáp ứng.

Làm cho Gollum trông như thật

Những kỹ thuật mô tả ở trên là những công cụ cốt yếu cho hoạt hình cổ điển, và chúng ta có thể hài lòng với kết quả của chúng trên những nhân vật hoạt hình. Nhưng khi dùng để mô tả con người thì chúng ta ngay lập tức nhận ra lỗi. Để tạo những chuyển động giống thật, nói chung việc thu chuyển động là cần thiết.

Nhiều nhân vật, như Gollum trong phim Chúa tể của những chiếc nhẫn, được xây dựng với việc thu chuyển động. Điều này được thực hiện bằng cách gắn các máy cảm ứng vào người tật trên những điểm chính trên cơ thể họ- đầu, vai, khuỷu tay, cằm,vv. Các diễn viên được quay bởi nhiều camera và sự thay đổi vị trí của các máy cảm ứng được ưu trên máy tính. Một bộ xương liền được làm cho khớp với dữ liệu ba chiều. Cuối cùng, các kỹ thuật được nêu ở trên được dùng để thêm thịt vào xương và tạo ra một nhân vật sống, thở và đi lại.

Nếu bạn xem đoạn credit ở cuối phim thì sẽ thấy một lượng lớn những tài năng sáng tạo tham gia làm một bộ phim thành công: kịch bản, đạo diễn, diễn viên, thiết kế trang phục, thiết kế trường quay… và danh sách tiếp tục. Nhưng một cái tên thường bị bỏ quên trong danh sách- toán học. Phần lớn phim ngày nay sẽ không tồn tại nếu không có hình học của ray tracing hay các quaternion xoay các vật trong không gian. Vậy lần tới khi bạn xem một phim 3D, hãy nâng bắp rang cho Toán học, ngôi sao thầm lặng của bộ phim.

Về tác giả

Joan Lasenby read Mathematics at Trinity College Cambridge. This was followed by a PhD in the Physics department in the Radio Astronomy Group. After a brief spell in industry working for Marconi, she returned to academia and is now a University Lecturer in the Signal Processsing Group of the Cambridge University Engineering Department and a Fellow and Director of Studies at Trinity College. Her research interests lie in the fields of computer vision, computer graphics, image processing, motion capture and geometric algebra.

Read More

Toán học đi vào điện ảnh - Phần 2

Dịch bởi Võ Đức Huy

Tất cả những gì bạn cần là tưởng tượng

Khi đã dựng cảnh xong, chúng ta vẫn còn đợi đạo diễn hô “Action!” và các nhân vật của chúng ta bắt đầu chuyển động. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu toán học thổi sự sống vào những hình ảnh của chúng ta như thế nào.

Một trong những chuyển động căn bản củ a một đối tượng là quay quanh một trục cho trước và qua một góc cho trước. Hình học tọa độ cho chúng ta những công cụ để tính toán vị trí của mỗi điểm trên vật thể sau khi nó được quay, nhưng điều quan trọng là những công cụ này nhanh và hiệu quả.

Để tìm những công cụ này, chúng ta hãy lùi một bước về lớp học toán. Chúng ta biết rằng có hai căn bậc hai của 25: +5 và -5 vì $\left ( +5 \right )^{2}=\left ( -5 \right )^{2}=25$ . Nhưng căn bậc hai của -25 là gì? Để tìm căn bậc hai của số âm, các nhà toán học đặt ra một số mới, gọi là $i$ , với $i^{2}=-1$ . Khi đó, vì $\left ( \pm 5i \right )^{2}=25i^{2}=-25$ nên $\sqrt{-25}= \pm 5i$ .

Sự xuất hiện của $i$ giúp cho các phương trình như $x^{2}=-1$ có lời giải. Và các số có dạng $z=x+iy$ , gọi là số phức, trở thành một công cụ quan trọng trong toán học. Nhưng nhiều người đã không thấy dễ chịu với con số kì lạ này.

Cuối cùng vào năm 1806 nhà toán học nghiệp dư Jean-Robert Argand đưa ra một cách biểu diễn hình học cho các số phức. Argand gán cho mỗi số phức một điểm trên mặt phẳng, với số 1 nằm trên một trục và số  trên trục còn lại. Ví dụ, số phức $1+i$  ứng với điểm (1,1). Tổng quát, một số phức $a+ib$  ứng với điểm $\left(a,b\right)$ .

Argand nhận ra rằng việc nhân số phức có một mô tả hình học: phép quay. Hãy xem điều gì xảy ra khi ta nhân $1+i$ , biểu diễn bởi điểm (1,1) với $i$:

$i\left(1+i\right)=i-1=-1+i$

Kết quả trên được biểu diễn bởi điểm , kết quả của phép quay 90 độ. Nhân với  lần nữa cho:

$i\left(-1+i\right)=-i-1=-1-i$

là điểm $\left(-1,-1\right)$ , kết quả của việc quay $90^{\circ}$ một lần nữa. Nhân cho  là chỉ dẫn cho phép quay $90^{\circ}$! Thực tế, mọi phép quay, không chỉ phép $90^{\circ}$, đều có thể làm được bằng cách nhân với một số phức.

Đến 3D

Nhà toán học Sir William Rowan Hamilton có lẽ là cựu sinh viên nổi tiếng nhất của Trinity College Dublin. Ông dành hai thập kỷ cuối của cuộc đời để tìm cách biểu diễn  các phép quay trong không gian 3 chiều theo cách tương tự như việc số phức biểu diễn phép quay trong không gian hai chiều.

Đến cuối đời Hamilton tìm ra câu trả lời, dưới dạng mà ông gọi là các quaternion: những số có dạng

$q=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ 

với $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ và $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ là các số thực.

Tấm bảng kỷ niệm ở Broom Bridge, nơi ông đã tìm ra quaternion khi đang đi dạo.

Giống như với các số phức, ta có thể mô tả các quaternion theo cách hình học và dùng chúng để biểu diễn các phép quay. Lần này không phải trên mặt phẳng, mà trong không gian ba chiều.

Để làm điều đó, các kí hiệu $i, j, k$  đại diện cho các mặt phẳng cơ bản của không gian ba chiều: $i$ biểu diễn mặt $yz$ , $j$  biểu diễn mặt $xz$  và $k$  biểu diễn mặt $xy$, với các vector pháp tuyến ngoài $x,-y,z$ lần lượt.

Giả sử ta muốn quay điểm $a=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)$  một góc quanh một trục đi qua gốc tọa độ cho bởi vector $b=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)$ . Chúng ta xây dựng hai quaternion $q_{1}$, $q_{2}$  bằng vector $b$  và góc quay $\beta$: 

$q_{1}=cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k\right)$ 

$q_{2}=cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k\right)$

Từ đó ta có thể nhân $a$ (biểu diễn dưới dạng tổ hợp của các vector đơn vị theo hướng $x,y,z$) với hai quaternion (tuân theo các luật đặc biệt về phép nhân $i,j,k$ và các vector đơn vị) để được:

${a}'=q_{1}aq_{2}$

Kết quả là điểm ${a}'$ cho bởi phép nhân này chính xác là điểm bạn muốn có khi quay điểm $a$  một góc $\beta$ quanh trục cho trước! Vậy, cũng như số phức được dùng để biểu diễn phép quay trên mặt phẳng, quaternion được dùng để biểu diễn phép quay trong không gian 3 chiều.

Tia chớp thiên tài của Hamilton, khi ông đi dưới cây cầu ở Dublin, trở thành công cụ hiệu quả nhất để quay vật thể trong không gian 3 chiều. Nhưng không phải ai cũng thấy dễ chịu với phép nhân mới của ông. Lord Kelvin, nhà vật lý, nói về các quaternion: “…dù đẹp đẽ thiên tài, nhưng chứa đựng một sự dữ với những người đụng tới chúng dù bằng cách nào.”

Mối lo đặc biệt với một số người là việc nhân hai quaternion phụ thuộc vào thứ tự của thừa số, một tính chất gọi là phi-giao hoán. Ví dụ, từ phép nhân của Hamilton, có thể chứng minh $ij=k$ và $ij=-k$ .
...(còn tiếp)

Read More

Toán học đi vào điện ảnh - Phần 1

Dịch bởi Võ Đức Huy

Toán học trân trọng giới thiệu…

Tất cả chúng ta đều bị cuốn hút bởi những hình ảnh sống động trên phim tạo bởi máy tính. Điều mà phần lớn chúng ta không nhận ra là những con khủng long trong Công viên kỉ Jura và những kỳ quan trong Chúa tể những chiếc nhẫn sẽ không xuất hiện nếu không có toán học.

Nhưng những hình ảnh tuyệt vời này được tạo nên như thế nào? Đồ họa vi tính và thị giác máy tính là những chủ đề lớn. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem giản lược một vài công cụ toán dùng để tạo ra sản phẩm cuối cùng. Trước hết chúng ta tạo ra thế giới trong phim và cho nó sự sống.

Xây dựng khung cảnh

Bước đầu tiên để tạo ra một bộ phim từ máy tính là tạo ra các nhân vật trong câu chuyện và thế giới mà họ sống. Mỗi đối tượng trong số đó được mô hình hóa bởi những mặt tạo bởi các đa giác nối nhau (thường là các tam giác). Các đỉnh của mỗi tam giác được chứa trong bộ nhớ máy tính. Cần biết rằng mặt nào của tam giác nằm ở phía ngoài của đối tượng hay nhân vật. Thông tin này được mã hóa bằng thứ tự các đỉnh được lưu, theo quy tắc bàn tay phải (tương tự vật lý): cuộn ngón tay của bạn vòng quanh tam giác theo thứ tự cho bởi các đỉnh. Chỉ có một cách để làm điều đó, và ngón trỏ của bạn sẽ chỉ ra một mặt của tam giác- và đó là mặt ngoài. Nếu thử làm điều đó, bạn sẽ thấy hướng ngoài của tam giác (A,B,C) sẽ đối với hướng ngoài của tam giác (A,C,B).

 

Bây giờ bề mặt của vật thể là một lưới các tam giác, chúng ta có thể tô màu mỗi thành phần của nó. Ở đây điều quan trọng là nắm được ánh sáng của cảnh mà chúng ta đang mô hình hóa, và điều này được làm bằng một qui trình gọi là ray tracing. Từ điểm nhìn của chúng ta, ta lần các tia sáng ngược lại phía vật thể và để chúng được phản xạ trên đó. Nếu tia từ mắt chúng ta phản xạ từ một mặt (một tam giác trong lưới) về nguồn sáng, chúng ta tô mặt đó bằng màu sáng và nó trông như là được rọi từ nguồn sáng. Nếu tia sáng phản xạ không gặp nguồn sáng, ta tô mặt đó với màu tối hơn.

Để theo dõi một tia sáng ngược về một mặt, ta cần mô tả toán học cho bề mặt, và giải các phương trình liên quan đến tia sáng và mặt phẳng mô tả bởi mặt đó. Để làm điều đó, ta sử dụng vector. Chúng ta đặt không gian vào một hệ trục tọa độ 3 chiều với tâm - điểm (0,0,0) - ở điểm nhìn của ta. Một vector $v= \left ( a,b,c \right )$ biểu diễn một mũi tên bắt đầu từ tâm và kết thúc ở điểm với tọa độ a,b và c. Chúng ta có thể nhân $v$  với một số, ví dụ 2 , và được $2v=2\left ( a,b,c \right )= \left ( 2a,2b,2c \right )$ . Vậy $2v$  là mũi tên chỉ cùng hướng với  nhưng dài gấp đôi.

Giờ hãy xem xét biểu diễn $\lambda v$ , với $\lambda $  là một biến, nói cách khác là bất kỳ số thực nào. Biểu diễn này không còn xác định duy nhất một mũi tên với độ dài nhất định, vì độ dài đã trở thành biến số, nhưng nó chỉ hướng của mũi tên. Nói cách khác, biểu diễn này mô tả đường thẳng chứa vector $v$ . Nó mô tả một đường thẳng - một tia - đi từ tâm - mắt chúng ta - với hướng định bởi vector $v$ .

Mặt phẳng xác định bởi một mặt tam giác có thể biểu diễn bởi ba thông tin: vị trí của một đỉnh, giả sử  là đỉnh $a_{1}$ , cùng các vector biểu diễn đường thẳng từ $a_{1}$ đến $a_{2}$ và từ $a_{1}$ đến $a_{3}$ .

Để biết tia sáng cắt mặt phẳng ở đâu và tính toán phương trình của tia sáng bị phản xạ, ta cần giải các phương trình liên quan đến hai cách biểu diễn vừa nói.

Phương trình của một tia, với $\lambda $  là số thực và v là vecto:

$r=\lambda v$

Phương trình mặt phẳng định bởi tam giác có ba đỉnh $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$

$r=a_{1}+\mu_{1}\left(a_{2}-a_{1}\right)+\mu_{2}\left(a_{3}-a_{1}\right)$

(Bạn có thể xem chi tiết toán học về ray tracing trong bài báo đột phá của Turner Whitted, "An improved illumination model for shaded display", Communications of the ACM, Volume 23, Issue 6.) 

Ray tracing có thể tạo ra những cảnh rất giống thực nhưng nó rất chậm. Điều này chấp nhận được cho sản xuất phim, nhưng sẽ thành rắc rối nếu bạn cần hiệu ứng ánh sáng thời gian thực, như trong game trên máy tính. Những hiện tượng phức tạp như đổ bóng, khúc xạ và phản xạ đa hướng rất khó để được mô hình hóa động và những phương pháp toán tiên tiến hơn, như precomputed radiance transfer và radiosity được dùng ở đây.

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp - Kỳ 4

Dịch bởi Võ Đức Huy

Chụp cắt lớp, GPS và việc hạ cánh máy bay an toàn

Quay quanh trái đất là rất nhiều vệ tinh GPS đang truyền tín hiệu radio xuống mặt đất. Nếu bạn có thể phát hiện những tín hiệu và tìm độ lệch pha giữa tín hiệu từ những vệ tinh khác nhau, bạn có thể xác định vị trí của mình với độ chính xác cao. Các phương pháp định vị GPS được sử dụng rộng rãi bởi các hệ thống định hướng máy bay, các thiết bị SATNAV và những người leo núi. Dù vậy, một trong những vấn đề của hệ thống này là những dao động từ tầng ion (tầng trên của khí quyển Trái đất) có thể ảnh hưởng đến tín hiệu radio và làm chúng bị lệch một ít. Sự lệch pha này sẽ dẫn đến sai sót trong vị trí cho bởi hệ thống GPS. Những sai sót này không lớn và chấp nhận được cho việc định hướng. Thế nhưng, với việc hạ cánh máy bay thì điều quan trọng là biết chính xác độ cao mà một sai lệch nhỏ cũng dẫn đến hậu quả lớn. Ở đây một hiểu biết chính xác về tầng ion là điều cốt yếu.

Có những lí do khác cho việc tìm hiểu tầng ion. Lí do dẫn đầu là tầng ion có ảnh hưởng rất đáng kể tới đường truyền của sóng radio và truyền thông nói chung. Nói đơn sơ, tầng ion có thể phản xạ sóng radio, làm tăng đáng kể phạm vi truyền tín hiệu.

Đáng chú ý là có thể dùng chụp cắt lớp để thăm dò trạng thái của tầng ion. Trong vấn đề vẽ hình ảnh bệnh nhân, chúng ta chiếu tia X qua cơ thể họ. Để vẽ hình ảnh của tầng ion, chúng ta dùng tín hiệu từ các vệ tinh GPS. Chúng tạo nên những “đường thẳng” đi xuyên qua tầng ion. Đường đi của chúng được minh họa trong hình dưới đây.

Pha của các sóng radio bị ảnh hưởng bởi các electron của khí quyển, do đó tổng thay đổi trong pha tỉ lệ với tích phân mật độ electron dọc đường truyền. Nếu ta có thể đo những thay đổi trong pha, ta có thể ước lượng mật độ electron và tìm ra biến đổi Radon của mật độ electron. Chúng ta gần như ở cùng một hoàn cảnh với bài toán chụp ảnh y khoa và có vẻ như có thể tìm mật độ electron tại bất kỳ điểm nào trong khí quyển.

Không hẳn là vậy. Có hai khác biệt lớn giữa vấn đề này và bài toán CAT. Trước hết, các vệ tinh phải di chuyển thường xuyên theo Trái đất. Thứ hai, có những vùng lớn trên Trái đất mà tại đó ta không thể đo được. Những vùng đó gồm các đại dương, nơi không có thiết bị thu sóng vệ tinh, và hai cực, nơi không có vệ tinh ở trên chúng. Do đó chúng ta có ít thông tin hơn nhiều so với trường hợp của bài toán quét CAT. Điều đó nghĩa là chúng ta thường ở trong tình huống của người đưa sữa không phân biệt được hai cách sắp xếp chai sữa khác nhau, vì cả hai cách đều dẫn đến cùng một kết quả đo như nhau.

Để vượt qua vấn đề này, ta cần một thông tin tiên khởi (a priori information) về trạng thái của tầng ion, nói cách khác là một phỏng đoán có lý về về lời giải. Điều này giúp chúng ta loại bỏ những lời giải không hợp với phỏng đoán và chọn lời giải càng giống phỏng đoán càng tốt. May mắn thay, ta có đủ hiểu biết về tính chất vật lý của tầng ion để làm cho phỏng đoán của ta đủ gần với sự thật. Bằng cách đó (cùng vài cải tiến thông minh) ta có thể dùng phép chụp cắt lớp để tìm trạng thái của tầng ion. Trong hình dưới chúng tôi minh họa một phép tính (dùng phần mềm MIDAS phát triển bởi University of Bath) về một cơn bão tầng ion (màu đỏ) đang phát triển ở miền nam nước Mỹ.

Phát hiện mìn dưới đất

Mìn chôn dưới đất là một trong những khía cạnh dơ bẩn nhất của chiến tranh hiện đại. Chúng thường được kích hoạt bởi những dây bẫy ngầm gắn với kíp nổ. Bất kỳ thuật toán nào để phát hiện dây bẫy cũng phải hoạt động nhanh và không bị nhầm lẫn bởi những lá cây và bụi cỏ ngụy trang. Một ví dụ cho vấn đề mà thuật toán phải đối mặt được cho trong hình dưới, trong đó các dây bẫy được giấu trong một khu rừng nhân tạo.

Dò tìm những dây bẫy bao gồm việc tìm những đường thẳng bị che giấu trong bức hình. May mắn là có phương pháp làm việc đó, chính là phép biến đổi Radon! Với bài toán tìm dây dẫy, ta không cần phải tìm phép ngược mà chỉ cần áp dụng thẳng phép biến đổi Radon vào bức ảnh. Tất nhiên cuộc đời không giản đơn như thế với những hình ảnh thực của các dây bẫy, và một số việc cần phải làm thêm để phát hiện chúng. Để áp dụng phép biến đổi Radon, hình ảnh phải được tiền xử lý để làm nổi rõ các cạnh. Sau khi biến đổi Radon cho hình ảnh được tiền xử lý, một bước xử lý nữa phải được áp dụng để phân biệt những đường thẳng tạo bởi các dây (ứng với các giá trị lớn của ) và các đường giả tạo bởi những nhánh lá nhỏ (với giá trị  nhỏ hơn).

Sau một loạt các phép tính điều chỉnh và các ước lượng giải tích cho một số lớn các hình ảnh khác nhau, có thể tìm ra một thuật toán nhanh chóng tìm ra các đường dây bằng cách lọc hình ảnh trước tiên, rồi áp dụng biến đổi Radon, sau đó áp dụng một phép hậu xử lý và áp dụng phép biến đổi Radon ngược. Kết quả của việc áp dụng phương pháp này đối với hình ảnh trên được chỉ ra dưới đây, với ba đường dây được tô đậm.

Để ý cách mà phương pháp này không chỉ phát hiện các dây bẫy, mà còn, từ độ rộng của các đường tô đậm, chỉ ra khoảng tin cậy của phép toán.

Toán học thật sự đã cứu nhiều mạng sống!

Về các tác giả

Chris Budd is Professor of Applied Mathematics at the University of Bath, and Chair of Mathematics for the Royal Institution. He is particularly interested in applying mathematics to the real world and promoting the public understanding of mathematics.

He has recently co-written the popular mathematics book Mathematics Galore!, published by Oxford University Press, with C. Sangwin.

Cathryn Mitchell is Professor of Electronic and Electrical Engineering and EPSRC Research Fellow at the University of Bath. She is interested in all sorts of tomography problems ranging from medical imaging to space physics.

http://plus.maths.org/content/os/issue47/features/budd/index

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp- Kỳ 3

Dịch bởi Võ Đức Huy

CAT và phép biến đổi Radon (tiếp theo)

Dù vậy, bí quyết của CAT là tìm hiểu nhiều hơn nữa về bản chất vật thể hơn là kích thước của nó, bằng cách xem xét sự hấp thụ của càng nhiều tia X càng tốt. Để làm điều đó, ta cần nghĩ tới một só tia X với góc  và khoảng cách  khác nhau từ tâm của vật. Một tia X như vậy được minh họa bên dưới.

Tia X này đi qua một loạt các điểm $\left ( x,y \right )$  với mật độ quang học $u\left ( x,y \right )$ . Phương trình đường thẳng cho

$\left ( x,y \right )= \left ( \rho \cos\left ( \Theta  \right ) -s\sin \left ( \Theta  \right ),\rho\sin \left ( \Theta  \right )+s\cos \left ( \Theta  \right )  \right )$

trong đó $s$ là khoảng cách dọc theo tia X. Khi đó ta có

$l_{1}=l_{0}e^{-R\left ( \rho ,\Theta  \right )}$

 với 

$R\left ( \rho ,\Theta  \right )=\int u\left ( \rho \cos\left ( \Theta  \right ) -s\sin \left ( \Theta  \right ),\rho\sin \left ( \Theta  \right )+s\cos \left ( \Theta  \right )  \right )ds$

Hàm $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ được gọi là biến đổi Radon của hàm $u\left ( x,y \right )$. Khi  càng lớn, tia X chiếu theo góc tương ứng càng bị hấp thu nhiều. Phép biến đổi này nằm trong cốt lõi của các máy quét CAT và các vấn đề trong ngành chụp ảnh cắt lớp. Nó được nghiên cứu trước tiên bởi Johann Radon năm 1917. (Radon cũng nổi tiếng với những khám phá quan trọng liên quan đến một nhánh của toán học gọi là lý thuyết độ đo, nền tảng của phép tính tích phân). Bằng cách đo sự hấp thụ tia X tại càng nhiều góc càng tốt, ta có thể ước lượng hàm số này với độ chính xác cao. Câu hỏi lớn của toán chụp cắt lớp là làm sao quay ngược phép biến đổi Radon, nói cách khác:
Chúng ta có thể tìm  $u\left ( x,y \right )$ từ $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ ?
Thật tình cờ, đây cũng chính là bài toán của người phát sữa trong phần trước. Câu trả lời ngắn gọn là CÓ, với điều kiện là ta làm đủ các phép đo chính xác. Một giải thích chi tiết hơn có thể tìm thấy ở http://plus.maths.org/content/os/issue47/features/budd/maths (dành cho những người dũng cảm). Tuy nhiên, để tạo động lực, một ví dụ đơn giản sẽ được đưa ra đây. Trong hai hình sau chúng ta thấy một hình vuông ở bên trái và phép biến đổi Radon của nó với các giá trị lớn của $R\left ( \rho ,\Theta  \right )$ tại các điểm tối màu ở bên phải.

Điểm cần để ý trong hai hình này là bốn cạnh của hình vuông cho những điểm với cường độ cao (đánh dấu mũi tên) trong biến đổi Radon. Những điểm được đánh dấu cho hướng của đường thẳng và khoảng cách của chúng tới tâm của hình vuông. Những cạnh này cho giá trị lớn của  tại những điểm nhất định là do những tia X đi qua các đường này được hấp thụ rất mạnh, trong khi những tia đi chệch một chút lại khó bị hấp thụ.

Cơ bản biến đổi Radon rất hữu ích trong việc tìm những đường thẳng trong một hình. Một phương pháp tìm $u\left ( x,y \right )$ , gọi là filtered back projection algorithm, được thực hiện (thô) bằng cách giả định hình ảnh ban đầu được tạo bởi các đường thẳng và vẽ chúng ứng với các giá trị cao của . Phương pháp này nhanh nhưng có thể không chính xác. Dù vậy, có thể tìm $u\left ( x,y \right )$  nhanh và chính xác, và những thuật toán để làm điều đó được cài đặt vào các máy quét. Phát triển ban đầu của những máy này dùng một công cụ toán gọi là biến đổi Fourier để đi ngược phép biến đổi Radon. Nếu bạn cần một vài giải thích chặt chẽ, hãy đọc bài viết được nói ở trên. Đa số toán được dùng đến là ở trình độ đại học, nhưng bài viết có nhiều ý tưởng toán đáng yêu.

Chụp cắt lớp có những ứng dụng khác ngoài y học. Một ví dụ thú vị đến từ khảo cổ học, với việc dùng chụp cắt lớp để tìm hiểu cái chết của vua Tutankhamen. Một phép quét CAT cho xác ướp cho thấy một vết sưng ở đầu gối, cho thấy cái chết là hậu quả của nhiễm trùng nặng. Nguyên nhân của việc này có thể là vết thương từ một cú ngã. Tuy vậy, máy CAT không thể cho biết Tutankhamen bị ngã do tai nạn hay do một âm mưu nào đó.

Tổng quát hơn, ta có thể dùng chụp cắt lớp trong bất kỳ vấn đề nào mà thông tin cho bởi trung bình của một hàm số dọc một đường thẳng. Phép chụp này cũng hữu ích trong việc tìm bằng chứng cho những đường thẳng trong một hình ảnh (như cạnh của một vật). Chúng ta sẽ tìm hiểu hai ví dụ về cách dùng phép chụp cắt lớp.
(còn tiếp).....

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp - Kỳ 2

Dịch bởi Võ Đức Huy

  

CAT và Phép biến đổi Radon

Trước đây không lâu, nếu bạn có vấn đề trong cơ thể, bạn sẽ phải chịu giải phẫu để tìm hiểu. Bất kỳ cuộc giải phẫu nào cũng có nguy hiểm, nhất là với bộ não. Dù vậy, điều này không còn là vấn đề nữa. Như đã nói trong phần đầu, các bác sĩ đã có thể dùng nhiều kỹ thuật quét để nhìn vào bên trong cơ thể bạn một cách an toàn. Một máy quét CAT được minh họa trong hình sau.

Trong máy quét này, bệnh nhân nằm trên một chiếc giường và được đưa qua một khoảng trống giữa chiếc máy. Khoảng trống này chứa những nguồn tia X xoay xung quanh bệnh nhân. Các tia X từ nguồn này đi xuyên qua bệnh nhân và được thu lại ở phía đối diện. Cường độ của tia X được đo chính xác và các kết quả được tính toán. Hình dưới đây minh họa hình ảnh mặt cắt của chiếc máy, với bệnh nhân quy ước hình tròn.

Khi một tia X đi qua bệnh nhân, nó bị hấp thụ và bị giảm cường độ. Mức độ hấp thụ phụ thuộc vào vật liệu mà tia đi qua: cường độ của nó giảm nhiều hơn khi đi qua xương so với qua cơ, nội tạng hay khối u. Bước quan trọng trong việc tạo hình ảnh cơ thể từ việc đo tia X là tính toán cẩn thận các vật liệu khác nhau hấp thụ các tia X như thế nào.

Khi một tia X đi qua cơ thể, nó đi theo đường thẳng, và tổng hấp thụ của nó là tổ hợp của các lượng bị hấp thụ bởi các vật liệu mà nó đi qua. Để xem điều này xảy ra như thế nào, ta cần một ít toán giải tích. Tưởng tượng có một tia X đi theo đường thẳng và tại khoảng cách   từ nguồn nó có cường độ . Khi  tăng thì  giảm do hấp thụ. Bây giờ, nếu tia X đi qua một khoảng cách nhỏ , cường độ của nó bị giảm một lượng . Sự giảm này phụ thuộc vào cường độ của tia X và mật độ quang học  của vật liệu. Cho khoảng cách đủ nhỏ, lượng giảm cường độ liên hệ với mật độ quang học bởi công thức

Bây giờ, khi tia X đi vào cơ thể, nó sẽ có cường độ  và khi rời khỏi cơ thể nó có cường độ . Ta có thể tổng hợp tất cả sự hấp thụ của các phần cơ thể mà nó đi qua và đi đến

với

Đây là sự hấp thụ củ a một tia X và nó cho một vài thông tin về cơ thể. Dưới đây ta thấy một vật thể chiều bởi nhiều tia X và cường độ các tia đo bởi một bộ cảm ứng (detector). Ở đây một vài tia X đi qua toàn bộ vật thể và bị hấp thụ mạnh khiến cho cường độ của chúng (thu được ở trung điểm detector) thấp, trong khi các tia khác đi qua vật ít hơn và ít bị hấp thụ hơn. Vật thể cho một hình chiếu của các tia X và từ đây có thể tìm ra các kích thước của nó. Chúng tôi minh họa điều đó dưới đây.

Cường độ của tia X nơi nó gặp bộ cảm ứng phụ thuộc vào bề dày của vật thể và quãng đường nó di chuyển qua vật thể và qua không khí.

Đồ thị này cho thấy cường độ các tia khi gặp cảm ứng. Các tia đi qua toàn bộ bề dày của vật thể có cường độ nhỏ nhất, như ta thấy ở phần trũng xuống chính giữa. Những tia vừa sượt qua vật thể có cường độ cao nhất, vì chúng đi quãng đường ngắn nhất trong tất cả các tia không bị hấp thụ. Điều này được chứng tỏ ở hai đỉnh nhọn của đồ thị. Đồ thị giảm xuống hai bên cạnh, cho thấy các tia tương ứng đã di chuyển tưởng đối xa. (....còn tiếp)

Read More

Cứu sinh - toán học cho phép chụp cắt lớp -Kỳ 1

Dịch bởi Võ Đức Huy

Toán học có thể bảo vệ mạng sống của chúng ta? Chắc chắn !!! Toán học được ứng dụng trong nhiều vấn đề quan trọng về sức khỏe và hạnh phúc của con người. Trong bài viết này chúng tôi sẽ mô tả cách toán học của phép chụp cắt lớp (tomography) đã trở thành một trong những công cụ toán quan trọng nhất trong vấn đề giữ gìn sức khỏe của bạn.

Y học hiện đại phụ thuộc nhiều vào các phương pháp chụp ảnh, bắt đầu với việc sử dụng tia X vào đầu thế kỷ 20.

Nói chung có hai hình thức chụp ảnh. Các phương pháp X-quang và siêu âm dùng một nguồn bức xạ nằm bên ngoài cơ thể. Tia bức xạ được thu lại sau khi đã đi qua cơ thể, và một hình ảnh được xây dựng dựa theo cách chúng được hấp thụ. Khi các tia X được sử dụng, quá trình này được gọi là CAT (computerised axial tomography). Từ tomography xuất phát từ tiếng Hi Lạp tomos, có nghĩa là “cắt”. Bài viết này xem xét chi tiết về qui trình này.

Cách chụp ảnh còn lại sử dụng nguồn bên trong cơ thể. Những cách này gồm chụp ảnh cộng hưởng từ (MRI), chụp cắt lớp bức xạ positron (PET) và chụp cắt lớp tính toán bức xạ photon đơn (SPECT). Những phương pháp này có một số tiến bộ so với CAT, cả trong chất lượng hình ảnh và tính an toàn, vì tia X có thể làm tổn thương các bộ phận mềm. Toán học dành cho tomography được tìm ra bởi Johann Radon năm 1917. Rất lâu sau đó, vào thập kỷ 1960s, nhà toán học Allan McLeod Cormack hợp tác với Godfrey Newbold Hounsfield phát triển dụng cụ quét đầu tiên, máy scan EMI nổi tiếng. Với công trình này, Cormack được giải Nobel. Những hình mẫu ban đầu chỉ có thể quét các vật thể lớn bằng đầu người, nhưng máy quét toàn cơ thể được chế tạo ngay sau đó.

Chụp ảnh y khoa thành công nhờ một tổ  hợp của những phép ước lượng rất cẩn thận, các thuật toán máy tính phức tạp, và toán học tiên tiến. Đó là toán học mà chúng ta sẽ tìm hiểu ở đây. Chúng tôi cũng chỉ ra toán học của phép chụp cắt lớp có nhiều ứng dụng khác, gồm việc chụp ảnh khí quyển, dò bom mìn và, ít thực dụng hơn, giải đố Sudoku.

Phân phối sữa và Sudoku Sát thủ

Trước khi đi sâu vào y học, chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản minh họa những nguyên lý của tomography và có liên hệ thú vị tới nhiều dạng Sudoku đang thịnh hành. Ví dụ này bao gồm việc phân phối sữa. Giả sử sữa và nước trái cây được cho vào các chai và đặt vào khay gồm 9 phần sắp xếp như một ô 3x3. Mỗi phần của khay chứa một chai có thể có sữa, nước trái cây hay rỗng. Câu hỏi là: ô nào chứa loại chai nào?

Điều không may là những cái khay khác được đặt chồng lên và ở dưới khay mà chúng ta quan tâm, do đó không thể nhìn phía trên hay dưới đáy khay. Có vẻ như vấn đề không thể giải quyết được. Dù vậy,chúng ta có thể nhìn chăm chú vào các cạnh và ước lượng bao nhiêu ánh sáng được hấp thụ với các góc độ khác nhau. Những loại chai khác nhau hấp thụ những lượng ánh sáng khác nhau. Đo đạc cẩn thận cho thấy các chai sữa hấp thu 3 đơn vị, nước ép hấp thu 2 đơn vị và chai rỗng hấp thu một đơn vị. Nếu một chùm sáng được chiếu xuyên các chai nước, sự hấp thụ được cộng dồn lại. Ví dụ, nếu chùm sáng đi qua một chai sữa rồi một chai nước ép, thì 5 đơn vị bị hấp thụ. Nếu nó đi qua ba chai rỗng thì 3 đơn vị bị hấp thụ.

Trong ví dụ sau chúng ta chỉ định tổng lượng ánh sáng bị hấp thụ khi chiếu tia sáng qua mỗi dòng và mỗi cột của hình vuông.

 Để giải bài toán này, chúng ta phải đặt các chai hấp thu 1,2 hay 3 đơn vị ánh sáng vào mỗi ô, với tổng các số ở hàng đầu bằng 5, hàng thứ hai bằng 6, vân vân. Cột ở giữa chứa 3 chai và hấp thụ 3 đơn vị sáng. Cách duy nhất để điều này xảy ra là mỗi ô của cột giữa chứa một chai rỗng hấp thụ một đơn vị mỗi chai. Còn những ô khác thì sao? Điều không may là chúng ta chưa có đủ thông tin để giải. Có đến hai khả năng:

Chúng ta đang gặp một tình huống hiếm thấy với một nhà toán học khi mà có đến hai đáp án hợp lý cho bài toán. Những bài toán như vậy được gọi là bài toán không chỉnh (ill-posed) và rất hay gặp khi chúng ta muốn tìm thông tin từ một hình ảnh. Để tìm hiểu chính xác các chai nước được phân bố thế nào, ta phải có thêm một ít thông tin. Một cách tìm thêm thông tin là cho ánh sáng đi qua đường chéo của khay. Chúng ta làm điều đó và tìm thấy 6 đơn vị bị hấp thụ từ góc trái trên xuống góc phải dưới, và 3 đơn vị từ góc trái dước lên góc phải trên. Từ thông tin thêm này, ta biết rằng đáp án đúng là đáp án đầu tiên. Có thể chứng minh là nếu ta đo được tất cả lượng ánh sáng hấp thụ bởi mỗi hàng, cột và đường chéo, thì có thể xác định duy nhất sự phân bố của các chai nước trong khay.

Vấn đề này  trông có vẻ tầm thường, nhưng nó tương tự như vấn đề chụp ảnh chúng ta sẽ bàn trong phần tiếp theo, và cho thấy tầm quan trọng của việc lấy thêm thông tin về lời giải để biết đáp án chính xác.

Nếu ví dụ này có vẻ quen với bạn, thì chính là như thế. Sudoku Sát thủ là một phiên bản nâng cao của Sudoku phổ biến. Trong Sudoku Sát thủ, cũng giống Sudoku, người chơi phải đặt các số 1 đến 9 vào một hình vuông sao cho mỗi số chỉ xuất hiện một lần trên mỗi dòng và mỗi cột. Nhưng thay vì cho người chơi vài số trước như trong Sudoku thường, Sudoku sát thủ cho bạn biết tổng của vài nhóm con số. Điều này chính là vấn đề được nói ở trên.

 (...còn tiếp)

Read More