Tầm nhìn đốt cháy vũ trụ - 3

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Lý tính của không gian

Đây rất có thể là xu hướng được yêu thích nhất của Escher, và cũng có thể là lí do tên tuổi của ông còn được nhắc đến. Cũng có thể đó là lí do bạn sẽ thấy quen thuộc với hoạ sĩ này, sau khi đọc xong bài báo. Khi nói về lý tính của không gian, chúng ta đang đề cập đến những qui luật vật lý hiển nhiên mà nếu vi phạm sẽ tạo ra những ảo ảnh. Tất cả các hoạ sĩ đều quan tâm đến lý tính của không gian, và một số đã khám phá ra những ứng dụng của các qui luật này vào hội hoạ. Một ví dụ cụ thể, Picasso.

Escher hiểu rằng hình học của không gian qui định lý tính của nó, và ngược lại lý tính của không gian qui định hình dạng đặc trưng. Một trong những kỹ thuật ông thường sử dụng để thể hiện lý tính của không gian là nét sáng tối trên những bề mặt lồi lõm của vật thể. Trong bức tranh Khối lập phương và những dải băng (Cube with ribbons), cái bóng của những khối u trên dải băng là đầu mối duy nhất để ta kết luận được cái cách hai dải băng này được quấn vào khung lập phương. Buồn thay, nếu ta tin vào mắt ta thì ta lại không thể tin vào những dải băng này! Chúng không chỉ là hai dải Möbius mà những khối u trên hai dải này còn không thể được xác định là u về hướng nào! Những nghiên cứu về luật phối cảnh và điểm vô cùng (point of infinity) bởi Alberti, Desargues và những hoạ sĩ Phục hưng khác đã thực sự khơi nguồn ra ngành hình học phối cảnh hiện đại.

Bằng việc xác định những điểm triệt tiêu (phiên bản hội hoạ của những điểm vô cùng) và bắt buộc các chi tiết trong tranh tuân thủ chúng, Escher đã tạo ra những bức tranh vô tưởng. Trong tác phẩm Cao và thấp (High and low), hoạ sĩ đã đặt năm điểm triệt tiêu, trên và dưới, trái, phải và ở giữa. Kết quả là nửa trên bức hình cho ta cảm giác nhìn xuống, và nửa dưới cho ta cảm giác nhìn lên của cùng một bối cảnh.

Kết luận

Những tác phẩm của M.C.Escher đã góp phần gắn kết hội hoạ và toán học trong một mối liên hệ không thể cắt rời. Chúng ta ở đây chỉ đề cập đến một phần nhỏ trong gia tài đồ sộ những bức tranh, thạch bản, khắc gỗ và tranh khắc nạo mà hoạ sĩ để lại sau cái chết vào năm 1972. Còn nhiều điều có thể bàn, và đã được bàn, về chiều sâu, ý nghĩa và tầm quan trọng của những công trình của ông. Độc giả có thể tìm hiểu sâu hơn về di sản của M.C.Escher, và về phần giao giữa thế giới của tưởng tượng, thế giới của toán học và thế giới chúng ta đang sống mà ông vẫn luôn khai thác sâu và sâu hơn.

Read More

Tầm nhìn đốt cháy vũ trụ - 2

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Hình dạng của không gian

Những tác phẩm quan trọng nhất của M.C.Escher phần lớn chứa đựng một góc nhìn đầy cá tính về toán học và bản chất của không gian. Được truyền cảm hứng từ một cuốn sách của nhà toán học H.S.M. Coxeter, Escher đã tạo nên nhiều tác phẩm với chủ đề về không gian hyperbolic, với một điển hình tuyệt vời của Giới hạn vòng tròn III (Circle limit III).

Tác phẩm đề cập đến một trong hai dạng không gian phi Euclide, và mô hình này thực chất do nhà toán học thiên tài Poincaré sáng tạo ra. Để hiểu rõ bản chất loại không gian này, hãy tưởng tượng bạn đang ở trong bức hình. Nếu bạn đi từ trung tâm hình tròn ra cạnh ngoài, bạn sẽ co rút lại như cái cách các con cá được vẽ, và vì thế việc chạm tới được vòng tròn là bất khả thi đối với bạn. Thật sự thì chuyện này sẽ không hiển nhiên là phi lý, vì cuối cùng thì trong một không gian Euclide bạn cũng sẽ phải đi một khoảng cách vô cùng để đến được rìa không gian. Tuy nhiên, quan sát tinh tế hơn một chút và bạn sẽ nhận ra rằng tất cả mọi tam giác đồng dạng đều bằng nhau (xét trên cái tỉ lệ co rút được thể hiện bởi đàn cá rực rỡ này), và không một tứ giác nào có bốn góc vuông, có nghĩa là không gian này đào thải mọi hình thái của hình vuông và hình chữ nhật. Một không gian lạ kỳ !

Nó vẫn còn bình thường chán nếu so với một tác phẩm khác của Escher, Đàn rắn (Snakes).

Hình tròn này tạo nên những hai vùng vô cực, tiến về phía ngoài vòng tròn và tiến về tâm của nó, được thể hiện bởi sự co rút của những hình tròn nhỏ.

Ngoài các không gian Euclide và phi Euclide, Escher cũng đặc biệt hứng thú với topology, một nhánh toán học vừa chớm nở hoa ở thời của ông. Topology tìm kiếm nguồn cảm hứng ở những tính chất của không gian mà vẫn không đổi khi không gian đó bị kéo dãn hay xoắn cong – nhưng không bị thủng hay rách – và những nhà topology học vẫn miệt mài công bố những vật thể kì dị mới. Dải băng Möbius có lẽ là ví dụ cơ bản và thường gặp nhất, một dải băng từ chối định nghĩa hai mặt của một dải băng. Điều này được thể hiện trực quan qua tác phẩm Dải băng Möbius II (Möbius strip II). Hãy theo chân đàn kiến và bạn sẽ hiểu.

                                                                                

Một tác phẩm xuất sắc khác thể hiện điêu luyện một tính chất tinh tế của toán học, Nhà trưng bày (Print Gallery).

Một thanh niên đang ngắm nhìn bức tranh trong phòng trưng bày tranh, bức tranh thể hiện một thành phố cảng nơi có một cửa hàng, bên trong cửa hàng này là một phòng trưng bày tranh nơi có một thanh niên đang ngắm nhìn bức tranh thể hiện một thành phố cảng … Chờ chút, điều gì đang xảy ra ?

Dù tất cả các tác phẩm của Escher đều có chỗ đứng cả về mặt nghệ thuật và toán học, tác phẩm Phòng trưng bày tranh vẫn vượt trội hơn hẳn vì tính chất của nó. Bằng cách nào đó tác giả đã bóp méo không gian, và nhân vật thanh niên vì thế vừa ở trong vừa ở ngoài bức tranh giả tưởng này. Cùng một lúc. Bây giờ, bạn hãy chú ý đến lỗ thủng giữa bức tranh. Toán học nói rằng không có cách chi có thể “trám” lỗ hổng này bằng những đường vẽ mà bức tranh vẫn còn liền lạc như một thể thống nhất. Các nhà toán học gọi đây là điểm kì dị (singularity), nơi mà kết cấu của bức tranh không còn giữ được chặt chẽ, và Escher, thay vì gắng gượng dùng thủ thuật để che giấu nó đi, đã công khai phô bày sự bất lực của mình một cách vinh hiển bằng chữ kí và “nhãn hiệu” riêng của mình ngay ở giữa bức tranh.

(...còn tiếp)

Read More

Tầm nhìn đốt cháy vũ trụ - Kỳ 1

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Ít người biết đến cái tên M.C.Escher. Cũng chắc chắn không kém, chúng ta đã từng xem qua nhiều tác phẩm của ông mà không biết. Và đó, không hơn không kém, là bậc thầy hội hoạ vĩ đại đã thêm một chiều vào không gian ba chiều của một bức tranh, chiều sâu toán học. Ông đã ướp thứ hương vị logic, và cả phi logic, của toán học vào nghệ thuật, và những thành quả ông đạt được là niềm cảm hướng của nhiều thế hệ. Bài viết sẽ đề cập đến vài xu hướng sáng tác đầy chất thơ của hoạ sĩ, và cái cách một bức tranh làm dấy lên câu hỏi trong ta về vũ trụ.

Chia cắt mặt phẳng

                                                                               

        Mô phỏng cách khảm gạch tại Alhambra, Tây Ban Nha

Một sự phân hoạch mặt phẳng (tessellation) là sự kết hợp của những hình kín bao phủ toàn bộ không gian và rời nhau. Đây là kỹ thuật thường dùng trong khảm đá hoặc trang trí sách, chủ yếu ở miền Tây Á. Thông thường những đa giác được dùng nhiều, điển hình như hình vuông của những ô gạch lát sàn. Escher tiến xa hơn những hình vuông đơn điệu này, từ nguồn cảm hứng vô tận ông tìm thấy ở cách các nghệ nhân xa xưa đã thổi luồng sinh khí vào nền gạch khảm ở Alhambra, ông sáng tạo ra cái được gọi là “không gian thiên biến vạn hoá” (metamorphose), trong đó những hình thù luôn thay đổi và tương tác với nhau, trong một số trường hợp chúng còn tràn ra khỏi không gian ban đầu. “Trong những nhánh toán học hiện nay, việc nghiên cứu không gian mặt phẳng được xem là chỉ trên lý thuyết. Liệu điều này có nghĩa là nó chỉ đơn thuần là một câu hỏi toán học ? Không, tôi nghĩ vậy. Những nhà toán học đã mở rộng cánh cửa dẫn vào một thế giới hoàn toàn khác, nhưng họ đã không đi vào một mình. Bằng bản năng siêu nhiên của mình, họ hứng thú với cái cách cánh cửa được mở hơn là khu vườn mà nó dẫn vào”, trích bài thuyết giảng của Escher năm 1957.

Một sự thật là trước đó bằng toán học người ta đã chứng minh là trong tất cả các đa giác đều, chỉ có hình tam giác, hình vuông và lục giác là có thể được sử dụng riêng rẽ để phân hoạch toàn bộ mặt phẳng (đương nhiên điều này là không đúng với đa giác không đều, với ngoại lệ của hình ngũ giác). Sử dụng một số kỹ thuật cơ bản như phản xạ, xoay hay tịnh tiến, M.C.Escher đã tạo nên rất nhiều hình thù đẹp mắt chỉ từ ba hình dạng cơ bản này.

Chia cắt mặt phẳng bằng những con chim (Regular division of the plane with birds)

Bò sát (Reptiles)

 

Bước phát triển 1 (Development 1)

(...còn tiếp)

Read More

Kiến trúc của âm nhạc

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Hình học fractal từ lâu đã nổi danh trong việc tạo nên những cấu trúc hài hoà và thẩm mĩ. Liệu có cách nào truyền tải vẻ mỹ học đó trong âm nhạc ? Dmitry Kormann, nhà soạn nhạc và nhạc công keyboard ở São Paulo, Brazil, giải thích cách anh ứng dụng cấu trúc fractal và tạo nên những sản phẩm âm nhạc tuyệt vời.

Fractal là gì ?

Một định nghĩa tổng quát cho các cấu trúc fractal là : “Một cấu trúc hình học có thể chia thành nhiều phần, mỗi phần có dạng thu nhỏ của cấu trúc hoàn chỉnh ban đầu”. Các cấu trúc dạng này là đề tài nghiên cứu chủ yếu trong lĩnh vực địa lý, nơi mà nó xuất hiện dưới dạng các đám mây, bông tuyết, một nhành dương xỉ, các dãy núi hoặc thậm chí là sự dao động của thị trường chứng khoán hay hệ thống thần kinh con người. Fractal cũng xuất hiện nhiều trong hội hoạ, một khoảng thời gian dài trước khi cái tên Fractal chính thức được sử dụng vào thập niên 1970. Một số cấu trúc Fractal cơ bản trong toán học:

Tam giác Sierpinski (trái) và Bông tuyết Von Koch (phải) – hình ảnh nguồn từ Wikipedia

Tập hợp Mandelbrot

Dễ hiểu là Fractal về cơ bản vẫn là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các ngành liên quan đến hình học. Sự hài hoà của nó dễ được nhận thấy bằng nhãn quan hơn các cảm quan khác. Và Dmitry Kormann muốn đảo chính, anh muốn cho thấy thế giới âm nhạc cũng đã và đang được xây dựng một phần trên kiến trúc của Fractal. Điều này được thể hiện qua các tác phẩm âm nhạc có cấu trúc phản chiếu hai đặc tính cơ bản của hình học Fractal, được nghiên cứu trong bài báo này.

Cấu trúc trong cấu trúc

Dmitry Kormann bắt đầu bằng việc nghiên cứu phiên bản piano của vở ballet Nghi lễ mùa xuân (Rite of spring), một tác phẩm của Stravinsky. Anh bị quyến rũ bởi cách tác giả khéo léo luân phiên các ostinato (thuật ngữ âm nhạc chỉ các mô tuýp được lặp lại nhiều lần trong một tác phẩm âm nhạc cổ điển) và gần như lúc nào cũng có một số thay đổi nhất định trong từng ostinato. Điều này thể hiện rõ ràng trong phần đầu khúc Cuộc đi săn của những bộ lạc thù địch (Games of the rival tribes):

Mô tuýp Số khuôn nhạc	A	B	C	B	C	Nghỉ	A	Nghỉ	A	B	B+	A	B
	9	7	7	6	11	6.5	3.5	6.5	4.5	6.5	6	7	7.5

Một điều đáng lưu ý khác là cách Stravinsky chuyển đổi các ostinato. Trái với các tác phẩm theo phong cách đơn giản, mà một mô tuýp lần lượt giảm âm và mô tuýp tiếp theo vang lên, Nghi lễ mùa xuân sử dụng phương thức phức tạp hơn, tạo cảm giác như một mô tuýp được sinh ra từ trong lòng mô tuýp trước đó. Stravinsky làm điều này bằng cách cho một đoạn nhạc dài theo mô tuýp sau và một đoạn nhạc ngắn theo mô tuýp trước đồng hành cùng nhau, thể hiện khá rõ trong câu nhạc 84 của khúc Những vị thần trẻ tuổi (Mystic circle of the adolescents):

Mô tuýp

A

A

A

B

X

A’

A’

B

B

B

C

B

B

C

C

C

C

C

Trong câu nhạc này, mô tuýp A được lặp lại 3 lần, rồi mô tuýp B xuất hiện một lần duy nhất. Một mô tuýp đặc biệt, X, xuất hiện tiếp theo sau một quãng nghỉ ngắn rồi mô tuýp A xuất hiện trở lại, thay đổi một chút. Mô tuýp B trở lại và lần này lặp 4 lần. Mô tuýp C bắt nguồn ngay từ nửa cuối mô tuýp B, sau đó kéo dài thêm 1 lần thì nhường mô tuýp B 2 lần xuất hiện trước khi lại trở lại 4 lần liên tiếp.

Cấu trúc tự đồng dạng

Một ví dụ khác cho cấu trúc Fractal là bản lục tấu Bóng hình đầu tiên (First construction) trong tác phẩm In metal của John Cage. Kết cấu đa hướng của tác phẩm và mối quan hệ hai chiều vi mô – vĩ mô trong đó từng phần nhỏ của tác phẩm như phản chiếu cấu trúc của toàn bộ bản nhạc (Fractal !!!) là nguồn cảm hứng âm nhạc suốt gần 20 năm của tác giả. Trong bản nhạc ta đang bàn, ông bắt đầu với đoạn nhạc dài 16 khuôn với 5 tiểu khúc :

Cấu trúc này lặp lại 4 lần, tạo thành phân đoạn đầu tiên của tác phẩm :

Tiếp tục với một đoạn nhạc 16 khuôn hoàn toàn mới cũng với cấu trúc 4-3-2-3-4, lần này ông lặp 3 lần và tạo nên phân đoạn thứ hai. Cứ thế, cuối cùng tác phẩm có bố cục như sau :

Có thể dễ dàng thấy bố cục lớn của tác phẩm cũng theo trình tự 4-3-2-3-4 các cấu trúc nhỏ, như một hình học Fractal dạng đơn giản nhất.

Tài liệu tham khảo

Bài gốc xem ở : http://plus.maths.org/content/os/issue55/features/kormann/index

Link nghe toàn bộ vở ballet Rite of spring : http://www.youtube.com/watch?v=-GlxnVl24sg&feature=results_main&playnext=1&list=PL4211223D26B0E5B7

Link nghe bản lục tấu First construction – In metal : http://www.youtube.com/watch?v=sGMEPgXUoLw

Read More