Tầm nhìn đốt cháy vũ trụ - 3

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Lý tính của không gian

Đây rất có thể là xu hướng được yêu thích nhất của Escher, và cũng có thể là lí do tên tuổi của ông còn được nhắc đến. Cũng có thể đó là lí do bạn sẽ thấy quen thuộc với hoạ sĩ này, sau khi đọc xong bài báo. Khi nói về lý tính của không gian, chúng ta đang đề cập đến những qui luật vật lý hiển nhiên mà nếu vi phạm sẽ tạo ra những ảo ảnh. Tất cả các hoạ sĩ đều quan tâm đến lý tính của không gian, và một số đã khám phá ra những ứng dụng của các qui luật này vào hội hoạ. Một ví dụ cụ thể, Picasso.

Escher hiểu rằng hình học của không gian qui định lý tính của nó, và ngược lại lý tính của không gian qui định hình dạng đặc trưng. Một trong những kỹ thuật ông thường sử dụng để thể hiện lý tính của không gian là nét sáng tối trên những bề mặt lồi lõm của vật thể. Trong bức tranh Khối lập phương và những dải băng (Cube with ribbons), cái bóng của những khối u trên dải băng là đầu mối duy nhất để ta kết luận được cái cách hai dải băng này được quấn vào khung lập phương. Buồn thay, nếu ta tin vào mắt ta thì ta lại không thể tin vào những dải băng này! Chúng không chỉ là hai dải Möbius mà những khối u trên hai dải này còn không thể được xác định là u về hướng nào! Những nghiên cứu về luật phối cảnh và điểm vô cùng (point of infinity) bởi Alberti, Desargues và những hoạ sĩ Phục hưng khác đã thực sự khơi nguồn ra ngành hình học phối cảnh hiện đại.

Bằng việc xác định những điểm triệt tiêu (phiên bản hội hoạ của những điểm vô cùng) và bắt buộc các chi tiết trong tranh tuân thủ chúng, Escher đã tạo ra những bức tranh vô tưởng. Trong tác phẩm Cao và thấp (High and low), hoạ sĩ đã đặt năm điểm triệt tiêu, trên và dưới, trái, phải và ở giữa. Kết quả là nửa trên bức hình cho ta cảm giác nhìn xuống, và nửa dưới cho ta cảm giác nhìn lên của cùng một bối cảnh.

Kết luận

Những tác phẩm của M.C.Escher đã góp phần gắn kết hội hoạ và toán học trong một mối liên hệ không thể cắt rời. Chúng ta ở đây chỉ đề cập đến một phần nhỏ trong gia tài đồ sộ những bức tranh, thạch bản, khắc gỗ và tranh khắc nạo mà hoạ sĩ để lại sau cái chết vào năm 1972. Còn nhiều điều có thể bàn, và đã được bàn, về chiều sâu, ý nghĩa và tầm quan trọng của những công trình của ông. Độc giả có thể tìm hiểu sâu hơn về di sản của M.C.Escher, và về phần giao giữa thế giới của tưởng tượng, thế giới của toán học và thế giới chúng ta đang sống mà ông vẫn luôn khai thác sâu và sâu hơn.

Read More

Tầm nhìn đốt cháy vũ trụ - 2

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Hình dạng của không gian

Những tác phẩm quan trọng nhất của M.C.Escher phần lớn chứa đựng một góc nhìn đầy cá tính về toán học và bản chất của không gian. Được truyền cảm hứng từ một cuốn sách của nhà toán học H.S.M. Coxeter, Escher đã tạo nên nhiều tác phẩm với chủ đề về không gian hyperbolic, với một điển hình tuyệt vời của Giới hạn vòng tròn III (Circle limit III).

Tác phẩm đề cập đến một trong hai dạng không gian phi Euclide, và mô hình này thực chất do nhà toán học thiên tài Poincaré sáng tạo ra. Để hiểu rõ bản chất loại không gian này, hãy tưởng tượng bạn đang ở trong bức hình. Nếu bạn đi từ trung tâm hình tròn ra cạnh ngoài, bạn sẽ co rút lại như cái cách các con cá được vẽ, và vì thế việc chạm tới được vòng tròn là bất khả thi đối với bạn. Thật sự thì chuyện này sẽ không hiển nhiên là phi lý, vì cuối cùng thì trong một không gian Euclide bạn cũng sẽ phải đi một khoảng cách vô cùng để đến được rìa không gian. Tuy nhiên, quan sát tinh tế hơn một chút và bạn sẽ nhận ra rằng tất cả mọi tam giác đồng dạng đều bằng nhau (xét trên cái tỉ lệ co rút được thể hiện bởi đàn cá rực rỡ này), và không một tứ giác nào có bốn góc vuông, có nghĩa là không gian này đào thải mọi hình thái của hình vuông và hình chữ nhật. Một không gian lạ kỳ !

Nó vẫn còn bình thường chán nếu so với một tác phẩm khác của Escher, Đàn rắn (Snakes).

Hình tròn này tạo nên những hai vùng vô cực, tiến về phía ngoài vòng tròn và tiến về tâm của nó, được thể hiện bởi sự co rút của những hình tròn nhỏ.

Ngoài các không gian Euclide và phi Euclide, Escher cũng đặc biệt hứng thú với topology, một nhánh toán học vừa chớm nở hoa ở thời của ông. Topology tìm kiếm nguồn cảm hứng ở những tính chất của không gian mà vẫn không đổi khi không gian đó bị kéo dãn hay xoắn cong – nhưng không bị thủng hay rách – và những nhà topology học vẫn miệt mài công bố những vật thể kì dị mới. Dải băng Möbius có lẽ là ví dụ cơ bản và thường gặp nhất, một dải băng từ chối định nghĩa hai mặt của một dải băng. Điều này được thể hiện trực quan qua tác phẩm Dải băng Möbius II (Möbius strip II). Hãy theo chân đàn kiến và bạn sẽ hiểu.

                                                                                

Một tác phẩm xuất sắc khác thể hiện điêu luyện một tính chất tinh tế của toán học, Nhà trưng bày (Print Gallery).

Một thanh niên đang ngắm nhìn bức tranh trong phòng trưng bày tranh, bức tranh thể hiện một thành phố cảng nơi có một cửa hàng, bên trong cửa hàng này là một phòng trưng bày tranh nơi có một thanh niên đang ngắm nhìn bức tranh thể hiện một thành phố cảng … Chờ chút, điều gì đang xảy ra ?

Dù tất cả các tác phẩm của Escher đều có chỗ đứng cả về mặt nghệ thuật và toán học, tác phẩm Phòng trưng bày tranh vẫn vượt trội hơn hẳn vì tính chất của nó. Bằng cách nào đó tác giả đã bóp méo không gian, và nhân vật thanh niên vì thế vừa ở trong vừa ở ngoài bức tranh giả tưởng này. Cùng một lúc. Bây giờ, bạn hãy chú ý đến lỗ thủng giữa bức tranh. Toán học nói rằng không có cách chi có thể “trám” lỗ hổng này bằng những đường vẽ mà bức tranh vẫn còn liền lạc như một thể thống nhất. Các nhà toán học gọi đây là điểm kì dị (singularity), nơi mà kết cấu của bức tranh không còn giữ được chặt chẽ, và Escher, thay vì gắng gượng dùng thủ thuật để che giấu nó đi, đã công khai phô bày sự bất lực của mình một cách vinh hiển bằng chữ kí và “nhãn hiệu” riêng của mình ngay ở giữa bức tranh.

(...còn tiếp)

Read More

Tầm nhìn đốt cháy vũ trụ - Kỳ 1

Dịch bởi Đinh Ngọc Khanh

Ít người biết đến cái tên M.C.Escher. Cũng chắc chắn không kém, chúng ta đã từng xem qua nhiều tác phẩm của ông mà không biết. Và đó, không hơn không kém, là bậc thầy hội hoạ vĩ đại đã thêm một chiều vào không gian ba chiều của một bức tranh, chiều sâu toán học. Ông đã ướp thứ hương vị logic, và cả phi logic, của toán học vào nghệ thuật, và những thành quả ông đạt được là niềm cảm hướng của nhiều thế hệ. Bài viết sẽ đề cập đến vài xu hướng sáng tác đầy chất thơ của hoạ sĩ, và cái cách một bức tranh làm dấy lên câu hỏi trong ta về vũ trụ.

Chia cắt mặt phẳng

                                                                               

        Mô phỏng cách khảm gạch tại Alhambra, Tây Ban Nha

Một sự phân hoạch mặt phẳng (tessellation) là sự kết hợp của những hình kín bao phủ toàn bộ không gian và rời nhau. Đây là kỹ thuật thường dùng trong khảm đá hoặc trang trí sách, chủ yếu ở miền Tây Á. Thông thường những đa giác được dùng nhiều, điển hình như hình vuông của những ô gạch lát sàn. Escher tiến xa hơn những hình vuông đơn điệu này, từ nguồn cảm hứng vô tận ông tìm thấy ở cách các nghệ nhân xa xưa đã thổi luồng sinh khí vào nền gạch khảm ở Alhambra, ông sáng tạo ra cái được gọi là “không gian thiên biến vạn hoá” (metamorphose), trong đó những hình thù luôn thay đổi và tương tác với nhau, trong một số trường hợp chúng còn tràn ra khỏi không gian ban đầu. “Trong những nhánh toán học hiện nay, việc nghiên cứu không gian mặt phẳng được xem là chỉ trên lý thuyết. Liệu điều này có nghĩa là nó chỉ đơn thuần là một câu hỏi toán học ? Không, tôi nghĩ vậy. Những nhà toán học đã mở rộng cánh cửa dẫn vào một thế giới hoàn toàn khác, nhưng họ đã không đi vào một mình. Bằng bản năng siêu nhiên của mình, họ hứng thú với cái cách cánh cửa được mở hơn là khu vườn mà nó dẫn vào”, trích bài thuyết giảng của Escher năm 1957.

Một sự thật là trước đó bằng toán học người ta đã chứng minh là trong tất cả các đa giác đều, chỉ có hình tam giác, hình vuông và lục giác là có thể được sử dụng riêng rẽ để phân hoạch toàn bộ mặt phẳng (đương nhiên điều này là không đúng với đa giác không đều, với ngoại lệ của hình ngũ giác). Sử dụng một số kỹ thuật cơ bản như phản xạ, xoay hay tịnh tiến, M.C.Escher đã tạo nên rất nhiều hình thù đẹp mắt chỉ từ ba hình dạng cơ bản này.

Chia cắt mặt phẳng bằng những con chim (Regular division of the plane with birds)

Bò sát (Reptiles)

 

Bước phát triển 1 (Development 1)

(...còn tiếp)

Read More

Một vòng quay - Kỳ cuối

Dịch bởi Võ Đức Huy

(Nguồn internet)

Xoay hai vòng

Trong số những tính chất phản trực giác của electron là nó có spin một phần hai. Đây là cách nói toán học để chỉ việc nếu bạn xoay electron 360 độ, nó sẽ không giống như lúc đầu! Không có điều tương tự trong đời sống hằng ngày - chúng ta đã quen với việc xoay mọi vật 360 độ và chúng quay lại như lúc đầu. Với một electron, bạn phải xoay nó 360 độ thêm một lần nữa để đưa về trạng thái ban đầu.

Khi bạn xoay một electron 360 độ, có điều gì đó phức tạp hơn là việc chúng trông như cũ. Có một dạng bậc tự do gắn với spin, và chúng cũng bị thay đổi. Điều xảy ra với spin một phần hai là chúng không quay lại nguyên trạng mà quay lại đối của trạng thái ban đầu. Vậy nếu bạn xoay 360 độ bạn không quay lại vị trí ban đầu mà ở vị trí đối lại hoàn toàn theo nghĩa bậc tự do gán cho spin. Bạn phải xoay thêm 360 độ nữa để quay lại nguyên trạng.

Một bước nhảy vọt cho máy tính

Một máy tính thông thường đương nhiên là một thiết bị điện tử, nghĩa là chúng sử dụng các electron. Nhưng những bit thông tin bạn đang điều khiển bằng những công cụ này là những số thông thường, được biểu diễn dưới dạng nhị phân. Thông tin được lưu dưới dạng một dãy những chữ số 0 và 1. Đây là thông tin cổ điển, cái mà chúng ta đã quen thuộc.

Trong một máy tính lượng tử, cái bạn muốn làm là sử dụng thông tin lượng tử. Trong thí nghiệm Stern-Gerlach, khi electron đi qua từ trường và hoặc nhận spin up hoặc spin down và đi vào một trong hai vị trí. Nhưng đó là một ví dụ của quá trình cơ học lượng tử, vì khi bạn đưa vào một electron cho trước, nói chung nó sẽ không có spin up hay down, mà ở một trạng thái khác, gọi là sự chồng chập giữa up và down. Khi electron được đưa qua dụng cụ đo, bằng cách nào đó nó chọn lấy một spin. Nhưng trạng thái ban đầu của một electron trước khi tạo ra lựa chọn thì phức tạp hơn “up” và “down” rất nhiều. Gọi “up” hay “down” cũng như gọi “0” hay “1”.

Một dãy electron trong dạng chồng chập vừa nói cho ta một dạng thông tin tinh tế hơn dãy nhị phân- và đó gọi là thông tin lượng tử. Nếu có thể điều khiển electron nhưng tránh làm chúng phải lựa chọn spin, ta có thể quản lý nhiều thông tin hơn so với trong máy tính bình thường- và nếu làm điều đó với cùng thời gian, ta sẽ tính toán được nhanh hơn.

Máy tính D-Wave (Nguồn internet)

Một hệ quả của việc này là khả năng phân tích ra thừa số những số cực lớn. Nếu cho bạn một số rất lớn và nói rằng đó là tích của hai số nguyên tố, sẽ rất khó để tìm chúng bằng những kỹ thuật đã biết. Nó sẽ cần một khoảng thời gian dài không chấp nhận nổi dù có dùng đến siêu máy tính. Nguyên lý đó được dùng để mã hóa và giải mã thông tin. Nhưng nếu bạn có thể phân tích ra thừa số những số lớn thì sẽ có khả năng giải những mã đó. Một máy tính lượng tử - nếu có trong thực tế - sẽ làm vô số điều không thể thành có thể. Bảo mật thông tin sẽ gặp một thách thức lớn.

Cơ học lượng tử đã trở nên kì lạ hơn bất cứ ai có thể đoán- và chắc chắn hơn tất cả những gì các nhà vật lý thế kỷ 19 có thể tin. Dù những khái niệm liên quan có vẻ phản lại bất kỳ cách hiểu hợp lý nào, các quá trình lượng tử đã trở nên thiết yếu trong nhiều công nghệ hiện đại, từ chụp ảnh y khoa đến tính toán điện tử. Máy tính lượng tử sẽ là một tiến bộ vĩ đại- với những hệ quả không thể đoán được. Có lẽ sẽ dễ chịu cho tất cả chúng ta nếu chiếc hộp bí ẩn đó không được mở ra, nhưng chúng ta không thể chỉ nói “tốt hơn là tôi không biết”, vì ai đó có thể tìm ra trước chúng ta.

Về tác giả

Peter Goddard is Master of St John's College and Professor of Theoretical Physics in the University of Cambridge. His contributions to research, which have centred on the development of String Theory, have been recognised by his election as a Fellow of the Royal Society (1989), the award of the Dirac Prize and Medal of the International Center for Theoretical Physics, Trieste, (1997) and appointment as CBE (2002).

He has also been instrumental in the development of programmes aimed at widening access to the University of Cambridge, and encouraging ambition and attainment in school students in less advantaged areas of the country, including St John's College's successful EAGLE project in Lambeth. He currently chairs the University of Cambridge Joint Committee on Admissions and the group concerned with co-ordinating initiatives in the University aimed at widening access and raising aspirations.

Tài liệu tham khảo

Bài gốc xem ở: http://plus.maths.org/content/spin

Read More

Triết học của toán ứng dụng - Kỳ cuối

Dịch bởi Võ Đức Huy

Được tạo ra theo hình ảnh của toán học

Chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa logic không trả lời được câu hỏi của ta. Có lẽ chủ nghĩa Trực giác có thể trả lời, nhưng vẫn còn nhiều thách thức về khái niệm. Vậy chủ nghĩa Platon thì sao?

Các nhà Platon tin rằng thế giới vật chất là cái bóng bất toàn của các vật thể toán học (và có lẽ các ý niệm như chân lý hay cái đẹp). Thế giới vật chất phát triển, cách nào đó, từ thực tại platonic này, và bắt rễ từ đó, và như vậy các vật và mối liên hệ giữa các vật trong thế giới in bóng những cái trong thực tại platonic. Sự thật là thế giới được mô tả bởi toán học không còn là điều bí ẩn vì nó đã thành một tiên đề: thế giới bắt rễ trong một thực tại toán học.

Nhà triết học Platon (427-428 TCN)

Nhưng những vấn đề lớn hơn xuất hiện: tại sao thực tại vật chất phát triển và bắt rễ trong thực tại platonic? Tại sao thực tại tư tưởng phát sinh từ vật chất? Tại sao thực tại tư tưởng có liên hệ trực tiếp tới thực tại platonic? Và những câu hỏi trên khác gì với những thần loại cổ xưa về nguồn gốc của thế giới, từ những thân thể bị giết của các vị thần và các titan, từ Phật-tính của tự nhiên, hay ý tưởng Abrahamic rằng chúng ta được “tạo ra theo hình ảnh của Chúa”?

Tất nhiên, niềm tin rằng chúng ta sống trong một vũ trụ linh thiêng và tham gia vào việc tìm hiểu thiên ý bằng nghiên cứu toán học và khoa học có lẽ là động lực lâu đời nhất cho tư duy có lý trí, từ Pythagoras đến Newton và các nhà khoa học ngày nay. “Chúa”, theo nghĩa này, không phải là một đối tượng trong không- thời gian, không là tổng của mọi đối tượng trong thế giới vật chất, hay một nhân tố trong thế giới platonic. Mặt khác, Chúa là điều gì đó gần với tính toàn thể của thực tại platonic. Theo cách này, nhiều trong số những khó khăn đặt ra cho các nhà platon cũng giống với những khó khăn của các nhà thần học của Do Thái-Thiên Chúa Giáo- và có lẽ của các tôn giáo và bán-tôn giáo khác.

Galileo tin rằng “quyển sách của vũ trụ” được viết bằng “ngôn ngữ” của toán học- một mệnh đề platonic đòi hỏi một câu trả lời (nếu không là câu hỏi) nếu có. Ngay cả các nhà khoa học toán không tôn giáo ngày nay cũng hay nói về những cảm giác ngạc nhiên và thích thú khi khai phá cái giống như thực tại platonic- họ không phát minh toán học, họ tìm thấy nó. Paul Davies đi xa hơn trong Ý Chúa, và nhấn mạnh bản chất hai chiều của động lực này. Một nhà toán học không chỉ được thúc đẩy tìm hiểu toán học với hi vọng được hiểu ý Chúa (một đức Chúa phi ngã như của Spinoza hay Einstein), nhưng khả năng của chúng ta trong việc truy đến chiếc “chìa khóa của vũ trụ” này gợi ý một mục đích hay ý nghĩa cho sự tồn tại của chúng ta.

Thật ra, giả thuyết rằng cấu trúc toán học và bản chất vật lý của vũ trụ cùng khả năng của trí óc chúng ta để tìm hiểu cả hai cách nào đó là một phần của trí óc, sự hiện diện, hay thân thể của một đấng nào đó là một câu trả lời gọn hơn cho câu hỏi về nền tảng của toán học và tính khả dụng của nó hơn những câu trả lời đã nói. Một giả thuyết như vậy, dù ít khi được dẫn, được tìm thấy trong nhiều hệ thống tôn giáo, văn hóa và khoa học trong vài thiên niên kỷ qua. Thế nhưng, không phải tự nhiên mà một nhà triết học hay một nhà khoa học hoàn toàn theo cách nhìn này (dù họ có muốn như thế) vì nó ủng hộ việc giữ lấy những điều huyền bí thay vì đẩy lùi những ranh giới của cái chưa biết.

Roger Penrose diễn tả rõ ràng nhất điều này với một sơ đồ ba thế giới. Thế giới platonic, vật chất và tư tưởng được vẽ như những hình cầu xếp vào một tam giác. Một hình nón nối thế giới platonic với vật chất: trong dạng tổng quát nhất, sơ đồ cho thấy phần hẹp của hình nón chỉ vào thế giới platonic còn phần rộng chỉ vào thế giới vật chất. Điều này diễn tả (ít nhất một phần) thế giới vật chất được biểu hiện từ một ít của thế giới platonic. Một hình nón tương tự nối thế giới vật chất với thế giới tư tưởng: (ít nhất một phần) thế giới tư tưởng được nhúng vào thế giới vật chất. Cuối cùng, và kỳ lạ nhất, hình tam giác được hoàn thành bởi một hình nón từ thế giới tư tưởng vào thế giới platonic: (ít nhất một phần) thế giới platonic được nhùng vào thế giới tư tưởng. Mỗi hình nón, mỗi thế giới, là một điều chưa biết.

Mô hình 3 thế giới (Nguồn internet)

Chúng ta dường như đã đến bế tắc khi mà bốn ý tưởng về nền tảng của toán học không thể giải đáp câu hỏi về ứng dụng của toán học. Nhưng tôi muốn bạn đọc xong bài viết này với cảm nghĩ rằng đó là một tin cực tốt! Việc gọt giũa những khía cạnh của câu hỏi lớn – tại sao toán ứng dụng tồn tại?- là một dự án tương lai có thể tạo ra hiểu biết sâu sắc về bản chất của toán học, của thế giới vật chất, và của vị trí của chúng ta trong cả hai hệ thống.

Về tác giả

Phil Wilson is a senior lecturer in mathematics at the University of Canterbury, New Zealand. He applies mathematics to the biological, medical, industrial, and natural worlds.

Tài liệu tham khảo

Bài gốc xem ở: http://plus.maths.org/content/philosophy-applied-mathematics

Read More