Buổi giới thiệu Chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán ứng dụng Pháp - Việt

Vào 8h30, sáng chủ nhật, 15.04.2012, tại hội trường nhà I, trường Đại học KHTN (227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, TPHCM) sẽ có buổi giới thiệu về chương trình đào tạo thạc sĩ Toán Ứng Dụng Việt Pháp.
Thân mời các bạn sinh viên quan tâm đến tham dự.
Ban điều hành chương trình.

Nguồn khoa toán tin học.
 (Xem thêm về chi tiết chương trình ở đây)

Read More

Toán học đi vào điện ảnh - Phần 3

Dịch bởi Võ Đức Huy

Đưa sức sống vào những hình ảnh

Phát minh của Hamilton đang được dùng trong nhiều ứng dụng đồ họa để di chuyển các vật thể và tạo ra chuyển động. Hai trong số những công cụ quan trọng nhất của đồ họa máy tính là deformation (biến dạng) và interpolation (nội suy). Phép nội suy và các kỹ thuật keyframing gồm việc xác định vị trí và hình dạng ban đầu và kết thúc của vật thể rồi cho máy tính tìm ra các trạng thái trung gian, như trong hình dưới.

Deformation là cách tạo ra những vật thể phức tạp từ những vật đơn giản. Một tấm vải phủ lên một quả cầu bị biến dạng, như trong hình dưới, có thể được tìm ra bằng cách biến đổi toán học cùng một cảnh với quả cầu bình thường. Cả deformation và interpolation đều cần các kỹ thuật toán nhanh và ổn định mà các phương pháp dựa trên quaternion có thể đáp ứng.

Làm cho Gollum trông như thật

Những kỹ thuật mô tả ở trên là những công cụ cốt yếu cho hoạt hình cổ điển, và chúng ta có thể hài lòng với kết quả của chúng trên những nhân vật hoạt hình. Nhưng khi dùng để mô tả con người thì chúng ta ngay lập tức nhận ra lỗi. Để tạo những chuyển động giống thật, nói chung việc thu chuyển động là cần thiết.

Nhiều nhân vật, như Gollum trong phim Chúa tể của những chiếc nhẫn, được xây dựng với việc thu chuyển động. Điều này được thực hiện bằng cách gắn các máy cảm ứng vào người tật trên những điểm chính trên cơ thể họ- đầu, vai, khuỷu tay, cằm,vv. Các diễn viên được quay bởi nhiều camera và sự thay đổi vị trí của các máy cảm ứng được ưu trên máy tính. Một bộ xương liền được làm cho khớp với dữ liệu ba chiều. Cuối cùng, các kỹ thuật được nêu ở trên được dùng để thêm thịt vào xương và tạo ra một nhân vật sống, thở và đi lại.

Nếu bạn xem đoạn credit ở cuối phim thì sẽ thấy một lượng lớn những tài năng sáng tạo tham gia làm một bộ phim thành công: kịch bản, đạo diễn, diễn viên, thiết kế trang phục, thiết kế trường quay… và danh sách tiếp tục. Nhưng một cái tên thường bị bỏ quên trong danh sách- toán học. Phần lớn phim ngày nay sẽ không tồn tại nếu không có hình học của ray tracing hay các quaternion xoay các vật trong không gian. Vậy lần tới khi bạn xem một phim 3D, hãy nâng bắp rang cho Toán học, ngôi sao thầm lặng của bộ phim.

Về tác giả

Joan Lasenby read Mathematics at Trinity College Cambridge. This was followed by a PhD in the Physics department in the Radio Astronomy Group. After a brief spell in industry working for Marconi, she returned to academia and is now a University Lecturer in the Signal Processsing Group of the Cambridge University Engineering Department and a Fellow and Director of Studies at Trinity College. Her research interests lie in the fields of computer vision, computer graphics, image processing, motion capture and geometric algebra.

Read More

Toán học đi vào điện ảnh - Phần 2

Dịch bởi Võ Đức Huy

Tất cả những gì bạn cần là tưởng tượng

Khi đã dựng cảnh xong, chúng ta vẫn còn đợi đạo diễn hô “Action!” và các nhân vật của chúng ta bắt đầu chuyển động. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu toán học thổi sự sống vào những hình ảnh của chúng ta như thế nào.

Một trong những chuyển động căn bản củ a một đối tượng là quay quanh một trục cho trước và qua một góc cho trước. Hình học tọa độ cho chúng ta những công cụ để tính toán vị trí của mỗi điểm trên vật thể sau khi nó được quay, nhưng điều quan trọng là những công cụ này nhanh và hiệu quả.

Để tìm những công cụ này, chúng ta hãy lùi một bước về lớp học toán. Chúng ta biết rằng có hai căn bậc hai của 25: +5 và -5 vì $\left ( +5 \right )^{2}=\left ( -5 \right )^{2}=25$ . Nhưng căn bậc hai của -25 là gì? Để tìm căn bậc hai của số âm, các nhà toán học đặt ra một số mới, gọi là $i$ , với $i^{2}=-1$ . Khi đó, vì $\left ( \pm 5i \right )^{2}=25i^{2}=-25$ nên $\sqrt{-25}= \pm 5i$ .

Sự xuất hiện của $i$ giúp cho các phương trình như $x^{2}=-1$ có lời giải. Và các số có dạng $z=x+iy$ , gọi là số phức, trở thành một công cụ quan trọng trong toán học. Nhưng nhiều người đã không thấy dễ chịu với con số kì lạ này.

Cuối cùng vào năm 1806 nhà toán học nghiệp dư Jean-Robert Argand đưa ra một cách biểu diễn hình học cho các số phức. Argand gán cho mỗi số phức một điểm trên mặt phẳng, với số 1 nằm trên một trục và số  trên trục còn lại. Ví dụ, số phức $1+i$  ứng với điểm (1,1). Tổng quát, một số phức $a+ib$  ứng với điểm $\left(a,b\right)$ .

Argand nhận ra rằng việc nhân số phức có một mô tả hình học: phép quay. Hãy xem điều gì xảy ra khi ta nhân $1+i$ , biểu diễn bởi điểm (1,1) với $i$:

$i\left(1+i\right)=i-1=-1+i$

Kết quả trên được biểu diễn bởi điểm , kết quả của phép quay 90 độ. Nhân với  lần nữa cho:

$i\left(-1+i\right)=-i-1=-1-i$

là điểm $\left(-1,-1\right)$ , kết quả của việc quay $90^{\circ}$ một lần nữa. Nhân cho  là chỉ dẫn cho phép quay $90^{\circ}$! Thực tế, mọi phép quay, không chỉ phép $90^{\circ}$, đều có thể làm được bằng cách nhân với một số phức.

Đến 3D

Nhà toán học Sir William Rowan Hamilton có lẽ là cựu sinh viên nổi tiếng nhất của Trinity College Dublin. Ông dành hai thập kỷ cuối của cuộc đời để tìm cách biểu diễn  các phép quay trong không gian 3 chiều theo cách tương tự như việc số phức biểu diễn phép quay trong không gian hai chiều.

Đến cuối đời Hamilton tìm ra câu trả lời, dưới dạng mà ông gọi là các quaternion: những số có dạng

$q=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$ 

với $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ và $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ là các số thực.

Tấm bảng kỷ niệm ở Broom Bridge, nơi ông đã tìm ra quaternion khi đang đi dạo.

Giống như với các số phức, ta có thể mô tả các quaternion theo cách hình học và dùng chúng để biểu diễn các phép quay. Lần này không phải trên mặt phẳng, mà trong không gian ba chiều.

Để làm điều đó, các kí hiệu $i, j, k$  đại diện cho các mặt phẳng cơ bản của không gian ba chiều: $i$ biểu diễn mặt $yz$ , $j$  biểu diễn mặt $xz$  và $k$  biểu diễn mặt $xy$, với các vector pháp tuyến ngoài $x,-y,z$ lần lượt.

Giả sử ta muốn quay điểm $a=\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)$  một góc quanh một trục đi qua gốc tọa độ cho bởi vector $b=\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)$ . Chúng ta xây dựng hai quaternion $q_{1}$, $q_{2}$  bằng vector $b$  và góc quay $\beta$: 

$q_{1}=cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k\right)$ 

$q_{2}=cos\left(\frac{\beta}{2}\right)+sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k\right)$

Từ đó ta có thể nhân $a$ (biểu diễn dưới dạng tổ hợp của các vector đơn vị theo hướng $x,y,z$) với hai quaternion (tuân theo các luật đặc biệt về phép nhân $i,j,k$ và các vector đơn vị) để được:

${a}'=q_{1}aq_{2}$

Kết quả là điểm ${a}'$ cho bởi phép nhân này chính xác là điểm bạn muốn có khi quay điểm $a$  một góc $\beta$ quanh trục cho trước! Vậy, cũng như số phức được dùng để biểu diễn phép quay trên mặt phẳng, quaternion được dùng để biểu diễn phép quay trong không gian 3 chiều.

Tia chớp thiên tài của Hamilton, khi ông đi dưới cây cầu ở Dublin, trở thành công cụ hiệu quả nhất để quay vật thể trong không gian 3 chiều. Nhưng không phải ai cũng thấy dễ chịu với phép nhân mới của ông. Lord Kelvin, nhà vật lý, nói về các quaternion: “…dù đẹp đẽ thiên tài, nhưng chứa đựng một sự dữ với những người đụng tới chúng dù bằng cách nào.”

Mối lo đặc biệt với một số người là việc nhân hai quaternion phụ thuộc vào thứ tự của thừa số, một tính chất gọi là phi-giao hoán. Ví dụ, từ phép nhân của Hamilton, có thể chứng minh $ij=k$ và $ij=-k$ .
...(còn tiếp)

Read More